2011　鳥取大学　後期工学部

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人とも当たる確率

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうち少なくとも$1$人が当たる確率

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうち$2$人以上が当たる確率

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)$

に対して，次の問いに答えよ．

(1)　方程式$AX=kX$が解$X$をもつような実数$k$は$2$つあることを示し，それらの値$k_1\text{，}{k}_2\text{（}{k}_1<k_2\text{）}$を求めよ．

(2)　$k_1\text{，}{k}_2$を(1)で求めた値とするとき$AP=P\left(\begin{array}{cc}{k}_1& 0\\ 0& k_2\end{array}\right)$を満たす正方行列$P=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ 1& 1\end{array}\right)$（$x_1\text{，}{x}_2$は実数）を求めよ．

(3)　$A^n$を求めよ．ただし$n$は自然数とする．

(4)　条件

$a_1=0\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められる数列$\{a_n\}$が

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+2}\\ a_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすことを用いて，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

（操作１）　$f(x)$を微分して$f^{\prime }(x)$を得る．

（操作２）　$f(x)$を$x$倍して$xf(x)$を得る．

（操作３）　$f(t)$を$0$から$x$まで積分して${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$を得る．

$f_0(x)=x{e}^{-x}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f_0(x)$に（操作１）を$2$回続けて行って得られる関数を$F(x)$とするとき，$F(x)$の最大値を求めよ．

(2)　関数$f_0(x)$に（操作１）と（操作２）を，この順に行って得られる関数を$G(x)$とするとき，$G(x)$の$x\geqq 0$における最大値と最小値を求めよ．

(3)　関数$f_0(x)$に（操作２）と（操作１）を，この順に行って得られる関数を$H(x)$とするとき，$H(x)-G(x)$に（操作３）を$1$回行って得られる関数$L(x)$を求めよ．ただし，$G(x)$は(2)で求めた関数とする．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．