2011　島根大学　前期MathJax

$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CD}=3\sqrt{2}\text{，}\mathrm{DA}=2$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\mathrm{\angle DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$は異なる実数であることを示せ．

(2)　$\alpha$と$\beta$のうち，少なくとも$1$つは負であることを示せ．

(3)　$\alpha \leqq 0\text{，}\beta \leqq 0$であるとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の最小値を求めよ．

(1)　$C_0$上の点$(a,-a^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$C_1$上に点$\mathrm{P}(p,{(p-1)}^2)$を任意にとるとき，点$\mathrm{P}$を通り$C_0$に接する直線は$2$本あることを示せ．

(3)　(2)の$2$直線が$C_0$と接する点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$2$直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$及び放物線$C_0$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S^2$が最小となる$p$の値と，そのときの$S^2$の値を求めよ．

(1)　直線$\mathrm{MN}$の傾きを$p$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$となるとき，$q$を$p$の式で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．

$a_1=3\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=b_n\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n\geqq 1$に対して$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$が成り立つ$\alpha \text{，}\beta$の値の組をすべて求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n=2$となる自然数$n$の存在性を調べよ．

(1)　関数$y=\left|x\right|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin 2xdx$を求めよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で，曲線$C\text{：}y=\left|x\right|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$m\text{，}n$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{D}$を通り，直線$\mathrm{OD}$と直交する直線を$l$とする．$l$と直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s\text{，}t$を求めよ．

(1)　立方体$B_1$の$1$辺の長さ$l_1$を求めよ．

(2)　球$O_n$の半径$r_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　球$O_n$の体積を$V_n$とし，$S_n=V_1+V_2+\cdots +V_k$とするとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }{S}_k$を求めよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}})$を求めよ．

(1)　$N(5)$を求めよ．

(2)　$N(m)$を$m$の式で表せ．

(3)　$N(m)$が素数ならば，$m$も素数であることを証明せよ．

$A=\{k|k\in U\text{かつ}k\text{は}3\text{の倍数}\}\text{，}B=\{k|k\in U\text{かつ}k\text{は}4\text{の倍数}\}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの集合$A\cap B\text{，}A\cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．

(2)　$m$と$n$を自然数とし，$2$次方程式

(＊)　$x^2-mx+n=0$

が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，$2$次方程式(＊)は$1$を解としてもつことを証明せよ．

(3)　$m\text{，}n$を集合$\bar{A}\cap \bar{B}$の要素とする．このとき，$2$次方程式(＊)の解がすべて$2$以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,n)$をすべて求めよ．ただし，$\bar{A}$と$\bar{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．