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2011-10681-0201
2011 島根大学 後期総合理工学部
数理・情報システム学科
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡( x)= x4+ 4⁢x2 +x+3 とおく. 2 次方程式 x2+x +3=0 の解を α , β とするとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( α)= a⁢α+ b をみたす実数 a , b を求めよ.
(2) { f⁡( α) }2 =c⁢ α+d をみたす実数 c , d を求めよ.
(3) 2 次関数 g ⁡( x) について, 2 次方程式 g ⁡(x )=0 が f⁡( α) と f⁡( β) を解にもつとき, g⁡( x) を求めよ.
2011-10681-0202
【2】 公正に作られた n 枚のコインを同時に投げるとき,表が出た枚数を k で表す.座標平面において 2 点 A ( 0,0 ), B (n ,0) からの距離の比が k+2: k+1 である点全体が作る図形 C k を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) Ck は円であることを示し,その面積 S k を求めよ.
(2) 18⁢n 2≦ Skπ <25 ⁢n2 となる確率を求めよ.
(3) n=4 のとき, Sk の期待値を求めよ.
2011-10681-0203
【3】 曲線 C :y=log ⁡(1 +x2 ) について,次の問いに答えよ.
(1) 関数 y =log⁡( 1+x2 ) の増減,極値,グラフの凹凸を調べ,曲線 C の概形をかけ.
(2) 傾きが 1 の直線 l が曲線 C と接しているとき,その接点の座標を求めよ.また,この直線 l の方程式を求めよ.
(3) 曲線 C と直線 l 及び y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2011-10681-0204
【4】 行列
A=( 1 1 01 ), B=( 1 0- 81 )
を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) X⁢A= A⁢X をみたし実数を成分にもつ行列 X をすべて求めよ.
(2) A⁢B の逆行列を求めよ.
(3) Y2 =-A⁢ B をみたす行列 Y をすべて求めよ.