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2011-10801-0201
2011 愛媛大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) ある街には,図のように東西に 5 本,南北に 6 本の道がある. A 地点を出発し, B 地点を経由し,次に C 地点を経由し, D 地点に達する最短の道順は何通りあるか.
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(2) a は実数とする.不定積分 ∫e a⁢log⁡ x⁢d x を求めよ.
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(3) 楕だ 円 x 2a2 + y 2b2 =1 に内接する長方形の面積の最大値を求めよ.ただし, a ,b> 0 で,また長方形の 4 辺は座標軸に平行とする.
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(4) 座標平面上の点 ( x,y ) に対し, ||( x,y) || を
|| (x, y)|| ={ |x |( | x|≧ |y |) |y | ( |x| <|y |)
と定義する.このとき不等式
||( x,y) ||≦1
によって定まる領域を座標平面上に図示せよ.
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(5) 関数 f⁡( x)= |x | は, x=0 において微分可能ではないことを示せ.
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【2】 次の問いに答えよ.
(1) 四面体 ABCD において AC → と BD → が垂直となる必要十分条件は
AD2+ BC2= AB2+ CD2
であることを示せ.
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(2) 2 次の正方行列 A , B が
A+B= (2 2 -14 ) ,A -B=( 0 21 -2 )
を満たすとき,次の行列を成分を用いて表せ.
(ⅰ) A2 +2⁢A ⁢B+ B2
(ⅱ) A2- B2
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(3)(ⅰ) x= π2- y とおいて
∫ 0π2 sin⁡x sin⁡x+ cos⁡x ⁢ dx= ∫0π 2 cos ⁡ysin ⁡y+cos ⁡y ⁢ dy
が成り立つことを示せ.
(ⅱ) 定積分 ∫0π 2 sin ⁡xsin ⁡x+cos ⁡x ⁢ dx を求めよ.
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【3】 行列 A , B を次のように定める.
A= 110⁢ ( 82 73 ) ,B= 13 ⁢( 7 21 -1 )
(1) B⁢A⁢ B-1 を求めよ.
(2) 自然数 n に対して A n を求めよ.
(3) 数列 { xn }, { yn } を次のように定める.
( x0 y0 )= 14 ⁢( 1 3 ) ,( x n yn )=A⁢ ( xn- 1 yn- 1 )( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
このとき,極限値 limn→ ∞x n ,lim n→∞ yn を求めよ.
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【4】 0≦x ≦π において関数
f⁡( x)= ∫ 0x e2⁢ cos⁡t ⁢sin⁡ 2⁢t⁢ dt
g⁡( x)= f⁡( x)+ 12 ⁢ e2⁢ cos⁡x
を考える.
(1) g⁡( x) の導関数 g ′⁡( x) を求めよ.
(2) u=cos⁡ t とおいて, f⁡( x) を計算せよ.
(3) 0≦x ≦π における g ⁡(x ) の最大値と最小値を求めよ.
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【5】 図のような平行六面体 ABCD ‐EFGH を考える.ただし, A (4 ,-1, 2) ,B ( 4,4, -2) ,D ( 2,4, 4) ,E ( -3,- 2,1 ) とする.
(1) 点 G の座標を求めよ.
(2) 対角線 AG は三角形 BDE と垂直に交わることを示せ.
(3) 三角形 BDE の面積を求めよ.
(4) 四面体 ABDE の体積を求めよ.