2011　佐賀大学　前期

【１】

(1)　中心が点$(1,2)\text{，}$半径が$3$の円がある．点$\mathrm{P}$がこの円上を動くとき，点$\mathrm{A}(-3,6)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$2:\mathrm{!}$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【１】

(2)　$5$個の数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$から異なる$3$個を取って$3$桁の自然数を作る．$3$の倍数にも$5$の倍数にもならないものはいくつあるか．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から対辺またはその延長線上に垂線$\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$を下ろす．$\mathrm{▵DEF}$が正三角形となるとき，$\mathrm{\angle A}$の大きさを求めよ．

【３】

(1)　正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように$3$つの線分$\mathrm{EG}\text{，}\mathrm{FH}\text{，}\mathrm{CG}$によって$4$つの部分に分割されている．

　四角形$\mathrm{AEGH}$は面積が$400$の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が$8$になる．

　このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

(2)　「$2116$の正の平方根を求めよ」という問題に対して以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ．

【４】

(1)　定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．

(ⅰ)　$f(x)=x^2$

(ⅱ)　$f(x)=1$

(2)　次の等式を満たす関数$f(x)\text{，}$および定数$a$を求めよ．

${\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt=x^2-1$

(3)　等式$f(x)=x^2-{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定数$a\text{，}b$を用いて，$\sin \theta +\cos \theta$を$a\sin (\theta +b)$の形に表せ．ただし，$a>0\text{，}0\leqq b<2\pi$とする．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta +\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおくとき，$\sin \theta \cdot \cos \theta$を$t$を用いて表し，$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\sin \theta \cdot \cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおくとき，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$を$t$を用いて表し，$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，${\mathrm{sn}}^3\theta +{\cos }^3\theta$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　多項式$f(x)=x^4-x^3+c{x}^2-11x+d$について，$f(1+\sqrt{2})=0$が成り立つとする．ここで，$c\text{，}d$は有理数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S=\{a+\sqrt{2}b|a\text{，}b\text{は有理数}\}$とする．集合$S$の元$z=a+\sqrt{2}b$（ただし，$a\text{，}b$は有理数）に対して，$j(z)=a-\sqrt{2}b$と定義する．$S$の任意の元$z\text{，}w$に対して，$j(z+w)=j(z)+j(w)$および$j(zw)=j(z)j(w)$が成り立つことを示せ．

(2)　(1)を用いて，$S$の元$z$が$f(z)=0$を満たせば，$f(j(z))=0$が成り立つことを示せ．このことを用いて，$f(1-\sqrt{2})=0$を示せ．

(3)　有理数$c\text{，}d$を求め，$f(x)$を有理数の範囲で因数分解せよ．

【３】　関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_1^t}{\displaystyle \frac{\log x}{x+t}}dx\text{（}t>0\text{）}$

を考える．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　この定積分を$x=ty$によって置換することにより，

$f(t)=\log t{\displaystyle {\int }_{t^{-1}}^1}{\displaystyle \frac{1}{y+1}}dy+{\displaystyle {\int }_{t^{-1}}^1}{\displaystyle \frac{\log y}{y+1}}dy$

を示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{dt}}{\displaystyle {\int }_{t^{-1}}^1}{\displaystyle \frac{\log y}{y+1}}dy=-{\displaystyle \frac{\log t}{t(t+1)}}$を示せ．

(3)　導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

(4)　関数$f(t)$の極値を求めよ．

【４】　整数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& a+c-b\end{array}\right)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　行列$Q=\left(\begin{array}{cc}s& t\\ 0& u\end{array}\right)$に対して，

$Q^3-Q=\left(\begin{array}{cc}s(s^2-1)& t(s^2+u^2+su-1)\\ 0& u(u^2-1)\end{array}\right)$

となることを示せ．

(2)　整数$x\text{，}y\text{，}z$に対して，行列$R=\left(\begin{array}{cc}6x& y\\ 0& 6z\end{array}\right)$をとる．このとき，行列${\displaystyle \frac{1}{6}}{R}^2$の各成分が整数であることを示せ．

(3)　$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$とおくとき，$B=PA{P}^{-1}$を求めよ．さらに，行列${\displaystyle \frac{1}{6}}{(B^3-B)}^2$の各成分が整数であることを示せ．

(4)　行列${\displaystyle \frac{1}{6}}{(A^3-A)}^2$の各成分が整数であることを示せ．

【３】　$xy$平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=k-x^2$を$C$とする．ただし，$k$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きい定数とする．$C$の点$\mathrm{P}(t,k-t^2)$が$t\geqq 0$の範囲で動くとき$\mathrm{OP}$の長さが最小となる$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_0$とおく．

(1)　${\mathrm{P}}_0$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_0$を通る直線と，${\mathrm{P}}_0$における$C$の接線が直交することを示せ．

(3)　$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_0$を通る直線の傾きが$1$のとき，$k$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_0$を通る直線の傾きが$1$のとき，$xy$平面の第$1$象限にあって，$x$軸，$y$軸および放物線$C$に接する円のうち小さい方の半径を求めよ．

【４】　$c$を実数とし，$a_1=c\text{，}{a}_2=c^2-2$および

$a_{n+2}=a_1{a}_{n+1}-a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で数列$\{a_n\}$を定義する．

(1)　$n\geqq 1$のとき$a_{n+4}=a_2{a}_{n+2}-a_n$となることを示せ．

(2)　$c=\sqrt{2}$のとき$a_{100}$を求めよ．