2011　佐賀大学　後期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　整数$n\text{，}r$が$n\geqq 2\text{，}1\leqq r\leqq n$を満たすとする．このとき，$r\cdot {}_{n}C_r=n\cdot {}_{n-1}C_{r-1}$が成り立つことを示せ．

(2)　$p$を素数とし，整数$r$が$1\leqq r\leqq p-1$を満たすとする．このとき，${}_{p}C_r$が$p$で割り切れることを示せ．

(3)　$p$を$3$以上の素数とする．二項定理を用いた式${(x+1)}^p={\displaystyle \sum _{r=0}^p}{}_{p}C_r{x}^r$を利用して，$2^p$を$p$で割った余りが$2$であることを示せ．

(4)　$p$を$5$以上の整数とする．$3^p$を$p$で割った余りを求めよ．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とし，点$\mathrm{P}(2t,-2t,t)$を通り$\mathrm{OP}$に垂直な平面を$\alpha$とする．ただし，$t>0$とする．

(1)　$\mathrm{P}$が$S$の内部にあるための$t$の条件を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$S$の内部にあるとき，$S$と$\alpha$の共有点は，$\mathrm{P}$を中心とする円周上にあることを示し，その円の半径を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を頂点とし(2)の円を底面とする円錐の体積を$f(t)$とする．$f(t)$の最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面上で，原点以外の互いに異なる$3$点${\mathrm{P}}_1(a_1,b_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(a_2,b_2)\text{，}{\mathrm{P}}_3(a_3,b_3)$をとる．さらに，$3$直線$l_1\text{：}{a}_{1}x+b_{1}y=1\text{，}{l}_2\text{：}{a}_{2}x+b_{2}y=1\text{，}{l}_3\text{：}{a}_{3}x+b_{3}y=1$をとる．

(1)　$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$が点$\mathrm{A}(p,q)$で交わるとき，$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$を通る直線の方程式が，$px+qy=1$であることを示せ．

(2)　$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$が$1$点で交わるとき，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$が同一直線上にあることを示せ．

(3)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$が同一直線$l$上にあるとき，$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$が$1$点で交わるための必要十分条件は直線$l$が原点を通らないことである．これを示せ．

【４】　$\mathrm{▵AOB}$において，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{，}\mathrm{\angle AOB}=\theta =2\alpha$とおく．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OM}=x$とおく．このとき，

$x^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2+2ab\cos \theta }{4}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{ON}=y$とおく．このとき，

$y={\displaystyle \frac{2ab\cos \alpha }{a+b}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　(1)，(2)の$x\text{，}y$について不等式$x\geqq y$を示せ．