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2011-11001-0101
2011 札幌医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を実数とし, x に関する方程式
cos⁡2⁢ x+a⁢ cos⁡x+ b=0
を考える.この方程式が 0≦ x<2⁢ π の範囲で, 2 個の異なる実数解を持つための a , b に関する条件を求めよ.
2011-11001-0102
【2】 1 から n までの番号が書かれた n 個の箱があり,各々の箱には 2⁢ n 本のくじが入っている.番号が l の箱には l 本の当たりが入っているとする.この条件で次の ① , ② を試行する.
① 無作為に箱を 1 つ選ぶ.
② ① で選んだ箱を用いて,くじを 1 本ひいては戻すことを m 回繰り返す.
この試行で k 回当たりくじを引く確率を pn ⁡(m ,k) とする.
(1) limn→ ∞⁡ pn⁡ (2,0 ), limn→ ∞⁡ pn⁡ (2,1 ), limn→ ∞⁡ pn⁡ (2,2 ) をそれぞれ求めよ.
(2) limn →∞ ⁡pn ⁡(m ,1) を m を用いて表せ.
2011-11001-0103
【3】 a を正の定数, 0<θ< π 2 とし,行列 X a,θ を
Xa, θ= ( 10 0 1 a )⁢ ( cos⁡θ sin⁡θ sin⁡ θ-cos ⁡θ )⁢( 1 00 a )
で定義する.また E を 2 次の単位行列とする.
(1) 2 次の正方行列 X が, X2 =E を満たし,行列 X の表す 1 次変換は,点 (1 ,0) を第 1 象限内に,点 (0 ,1) を第 4 象限内に移すとする.このとき行列 X は X a,θ の形になることを示せ.
(2) a1 と a 2 を正の定数, θ1 と θ 2 を第 1 象限の角とする. A=X a1 ,θ1 ,B =X a2, θ2 とするとき (A⁢B )2= E となるための条件を a 1, a2 , θ1 , θ2 を用いて表せ.
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【4】 0≦x≦ a で定義された 2 つの関数
f⁡(x )=(a -x)⁢ ex
g⁡(x )=b⁢ x2
を考える.ただし a ,b は定数とし, a は 1< a≦2 を満たすとする.さらに 2 曲線 y= f⁡(x ) と y= g⁡(x ) が f⁡ (x) の最大値をとる点で交わるとする.
(1) 曲線 y= f⁡(x ) の概形を描け.
(2) b を a を用いて表せ.
(3) 不定積分 ∫⁡ x⁢e 2⁢x ⁢dx を求めよ.
(4) 2 曲線 y= f⁡(x ),y =g⁡( x) および x 軸で囲まれる図形を x 軸の周りに一回転させてできる回転体の体積を a を用いて表せ.