2011　青森公立大学　前期MathJax

【１】　次の連立方程式を$x\text{，}y$について解け．

$\{\begin{array}{l}|y-x|=1\\ y=x^2-1\end{array}$

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$を考える．ただし，$3$つの内角の大きさについて，$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ACB}=2\angle \mathrm{BAC}$という関係が成り立っているとする．いま，辺$\mathrm{AB}$の長さを$x\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さを$1$とする．また，三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

問題１　$x$の値を求めよ．

問題２　$\cos 72\mathrm{°}$の値を求めよ．

問題３　点$\mathrm{A}$を中心に半径が線分$\mathrm{AD}$の長さと等しくなるような円$A$を描く．円$A$の円周と線分$\mathrm{AM}$の交点を点$\mathrm{E}$とする．三角形$\mathrm{ADE}$の面積を利用して，円$A$に内接する正$20$角形の面積を求めよ．

【３】　$k$を定数として，次の関数

$f(x)=|x^2-4x|-2x+k$

を考える．ただし，定義域を$0\leqq x\leqq 6$とする．

問題１　$k=0$のとき，$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

問題２　定義域上の全ての$x$に対して，$f(x)\geqq 0$を満たすような$k$の範囲を求めよ．

問題３　$f(x)$の最大値と最小値の積が負の数になるような$k$の範囲を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人があるゲームを繰り返し行い，どちらかが先に$3$勝したときに終了する．各回のゲームで$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{4}}\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{4}}$とし，引き分けはないものとする．

問題１　$3$回で終了する確率を求めよ．

問題２　$4$回で終了する確率を求めよ．

問題３　各人について，勝った回数から負けた回数を引き，その値を勝ち点とする．勝ち点は負の値もとりうる．終了したときの$\mathrm{A}$の勝ち点の期待値を求めよ．