2011　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$は実数とする．$x$の$3$次関数$f(x)=x^3-3ax-2b$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．

(ⅱ)　方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，その解を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　方程式$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解をもつとき，それらの絶対値はすべて$2\sqrt{\left|a\right|}$より小さいことを示せ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)(ⅰ)　すべての自然数$n$と整数$k\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$について，$2\cdot {}_{2n}C_{n+k}+{}_{2n}C_{n+k+1}+{}_{2n}C_{n+k-1}={}_{2(n+1)}C_{n+k+1}$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$x$は実数とする．すべての自然数$n$について，$2^{2n}\cdot {\cos }^{2n}x={}_{2n}C_n+2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{}_{2n}C_{n+k}\cos (2kx)$が成り立つことを示せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$に外接する球の中心を$\mathrm{G}$とし，この球面と直線$\mathrm{OG}$との$\mathrm{O}$以外の交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$上にあって，四面体$\mathrm{PDEF}$が正四面体になるような点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　正四面体$\mathrm{PDEF}$の$1$辺の長さを求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　正四面体$\mathrm{OABC}$の内部と正四面体$\mathrm{PDEF}$の内部の共通部分の体積を求めよ．

【３】　正の実数$a\text{，}b$について，双曲線$C_1\text{：}{x}^2-y^2=a^2$と楕円$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$は共有点をもち，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線は直交している．第$1$象限における$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}$とし，$e$を自然対数の底として，以下の問いに答えよ．

(1)　$b$および点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$C_1$は$t$を媒介変数として，$x={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}a\text{，}y={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}a$と表すことができる．点$\mathrm{P}$の座標を表す$t$を$a$を用いて表せ．

(3)　$x>0$の範囲において，$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積を$S_a$とする．$S_a$を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)の$S_a$について，$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}=e$を利用することにより，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_a}{a}}$を求めよ．

【４】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$は，$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 5a_2\\ a_3& a_n\end{array}\right)$が逆行列をもたないような，$100$以下の自然数とする．ただし，$a_1\geqq a_2\geqq a_3$のときは$n=3$とし，それ以外のときは，$a_i<a_{i+1}$を満たす最小の$i\text{（}i=1\text{または}2\text{）}$を$n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　組$(a_1,a_2,a_3)$を固定したとき，平面上の各点は$A$で表される$1$次変換によって原点を通るある直線$l$上に移ることを示せ．

(2)　(1)の直線$l$が$y={\displaystyle \frac{1}{5}}x$になるような$(a_1,a_2,a_3)$の組の個数はいくつか．

(3)　$n=1$になるような$(a_1,a_2,a_3)$の組の個数はいくつか．