2011　岐阜薬科大学　中期

【１】　$xy$平面上にある長方形$\mathrm{OPRS}$を底面とし，三角形$\mathrm{OST}\text{，}$三角形$\mathrm{PRQ}\text{，}$四角形$\mathrm{OPQT}\text{，}$四角形$\mathrm{RSTQ}$を側面とする五面体$\mathrm{OPQRST}$がある．五面体$\mathrm{OPQRST}$が

$\mathrm{OP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RS}=\mathrm{ST}=\mathrm{TO}=1\text{，}$

$\mathrm{\angle TOP}=\mathrm{\angle OPQ}=\mathrm{\angle PQR}=\mathrm{\angle QRS}=\mathrm{\angle RST}=\mathrm{\angle STO}=\theta \text{（}90\mathrm{°}<\theta <120\mathrm{°}\text{）}$

をみたしているとき，次の問いに答えよ．ただし，$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$(0,0,0)\text{，}(1,0,0)$とし，$\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=a$とする．

(1)　辺$\mathrm{OS}$の長さを$a$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．ただし，点$\mathrm{Q}$の$y$座標は正とする．

(3)　五面体$\mathrm{OPQRST}$の体積$V$を$a$を用いて表せ．

【２】　$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(1,\sqrt{3})$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を${\mathrm{OH}}_1$とする．次に，点${\mathrm{H}}_1$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線を${\mathrm{H}}_1{\mathrm{H}}_2\text{，}$点${\mathrm{H}}_2$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線を${\mathrm{H}}_2{\mathrm{H}}_3\text{，}$点${\mathrm{H}}_3$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を${\mathrm{H}}_3{\mathrm{H}}_4$とする．以下，辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}$上に，この順で垂線を引くことを繰り返し，点${\mathrm{H}}_n$を決め，線分${\mathrm{H}}_{n-1}{\mathrm{H}}_n$の長さを$a_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$とする．$a_1={\mathrm{OH}}_1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　放物線と直線に関して，以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2$と直線$y=k\text{（}k>0\text{）}$で囲まれた部分の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．

(2)　放物線$y=1-x^2$と$x$軸とで囲まれた部分を直線$y=a(0<a<{\displaystyle \frac{1}{2}})$を折り目として折り返す．

(ⅰ)　重なっていない部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　重なっていない部分のうちで，$x$軸の下側にある部分の面積を$S^{\prime }$とする．$S=2S^{\prime }$となる$a$の値を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)$について$C=AB$と定め，行列$C$の表す$1$次変換（移動）を$f$とする．ただし，$B\ne E$（単位行列），$a$は実数とする．

(1)　行列の積$C=AB$を計算せよ．

(2)　$1$次変換$f$によって，点$(0,1)$を通る直線$l$上のすべての点がすべてその直線$l$上に移るとき，$a$の値と直線$l$の方程式を求めよ．

【５】　正$n$角形（$n$は$3$以上の整数）の頂点から重複を許して$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$を選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n=6$とする．$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$で，

(ⅰ)　三角形ができる確率を求めよ．

(ⅱ)　直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$n=2k$（$k$は$3$以上の整数）とする．$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$で，

(ⅰ)　三角形ができる確率を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　直角三角形，鈍角三角形，鋭角三角形ができる確率をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(ⅲ)　鋭角三角形ができる確率を$P_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．

【６】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，関数$f(x)$の曲線の凹凸を調べ，そのグラフをかけ．