2011　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　放物線$C:y=x^2$の点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$を通り，放物線のこの点における接線に垂直な直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(2)　直線$l$と放物線$C$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$C$の接線の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　表が出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$のコイン$3$枚を同時に投げたとき，表と裏が出る事象を$\mathrm{A}\text{，}$少なくとも$1$つが表である事象を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　事象$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$および$\bar{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B}$の確率を求めよ．

(2)　$(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cup (\overline{\mathrm{A}\cup \mathrm{B}})$は表と裏がどのように出る事象かを答え，その確率を求めよ．

(3)　表$1$枚につき$k$点もらえるとする．得点の期待値が$6p$のとき，$k$の値を求めよ．

【３】　ベクトル$\overrightarrow{x_1}=(0,1,1)\text{，}\overrightarrow{x_2}=(1,0,1)\text{，}\overrightarrow{x_3}=(1,1,0)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{b_1}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{x_1}}{\left|\overrightarrow{x_1}\right|}}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_2}-s\overrightarrow{b_1}|$を最小にする実数$s$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_2}=\overrightarrow{x_2}-s\overrightarrow{b_1}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{b_2}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{y_2}}{\left|\overrightarrow{y_2}\right|}}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_3}-t\overrightarrow{b_1}-u\overrightarrow{b_2}|$を最小にする実数$t\text{，}u$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_3}-t\overrightarrow{b_1}-u\overrightarrow{b_2}$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{b_3}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{y_3}}{\left|\overrightarrow{y_3}\right|}}$とおくとき，$\overrightarrow{b_1}\text{，}\overrightarrow{b_2}\text{，}\overrightarrow{b_3}$は互いに直交することを示せ．

【４】　長方形$\mathrm{OA}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$において$\mathrm{OA}=1\text{，}\angle \mathrm{AO}{\mathrm{B}}_1=\theta \text{（}0<\theta <90\mathrm{°}\text{）}$とする．図のように，この長方形の対角線$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1$を一辺とし，$\angle {\mathrm{B}}_1\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2=\theta$となる長方形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$を反時計回りに作る．同様にして$\angle {\mathrm{B}}_n\mathrm{O}{\mathrm{B}}_{n+1}=\theta$となる長方形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を作る．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1$および${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$の長さを$\theta$で表せ．

(2)　長方形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{B}}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ．

ただし${\mathrm{B}}_0=\mathrm{A}$とする．

(3)　$\theta =30\mathrm{°}$のとき，図形$\mathrm{O}\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4{\mathrm{C}}_4$の面積$S$を求めよ．

【１】　座標平面上の点$(1,0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．

(1)　物体$\mathrm{A}$が点$(0,n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$に達する確率$P_n$を求めよ．

(2)　$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

【２】　半径$1$の円が直線上を一定の速さ$a\text{（}a>0\text{）}$で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻$0$において直線と接している円周上の点を$\mathrm{P}\text{，}$時刻$0$から$t$までに円が回転した角度を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルの大きさ$|\overrightarrow{v(t)}|$を求めよ．

(2)　積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2\pi }{a}}}|\overrightarrow{v(t)}|dt$を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円の内部にある点を$\mathrm{A}$とする．この円周上の点$\mathrm{P}$について，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$がこの円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く軌跡を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して関数$f_n(x)$を$f_1(x)=x\text{，}n\geqq 2$のとき

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t{f}_{n-1}(x-t)dt$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$を類推し，それが正しいことを証明せよ．

【２】　放物線$C:y=x^2$の点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{（}a>0\text{）}$における法線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$と放物線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(2)　直線$l$と放物線$C$の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$C$の接線の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p\text{（}0<p<1\text{）}$に対して，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$の位置ベクトルを

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_5}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\cdots$

によって定義する．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{3n}}$を$n\text{，}p\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{3n}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．

(3)　点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．

【４】　$xy$平面上において，媒介変数$t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$によって$x=2(1+\cos t)\cos t\text{，}y=2(1+\cos t)\sin t$と表される右図の曲線について次の問いに答えよ．

(1)　$x$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を求めよ．

(3)　この曲線で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．