2011　名古屋市立大　後期経済学部

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+3(4-t)x+6t+46$について，次の問いに答えよ．

(1)　$t$がどのような実数であっても$y=f(x)$のグラフはある定点を通ることを示し，その座標を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$が極大値，極小値をもつような実数$t$の範囲を求めよ．その$t$について$f(x)$の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　(2)のもとで，方程式$f(x)=0$がちょうど$2$つの相異なる実数解を持つ場合の$t$とそれらの解を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=\angle BOC=\theta \text{（}0<\theta <90\mathrm{°}\text{），}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=1$とする．点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}$の中点とし，半直線$\mathrm{CM}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$半直線$\mathrm{ON}$上に点$\mathrm{Q}$をとる．いま，$\mathrm{PQ}$が最小となるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\theta =60\mathrm{°}$のとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ線分$\mathrm{CM}\text{，}\mathrm{ON}$をどのような比に分けるか答えよ．また，そのときの$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【３】　$xy$平面上の点$(1,0)$を出発点として，コインを投げて表が出たら$60\mathrm{°}\text{，}$裏が出たら$45\mathrm{°}\text{，}$動点$\mathrm{P}$を原点を中心として反時計回りに回転させる．この試行を繰り返すとき，次の問いに答えよ．ただし表裏が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　何度かの試行の後，動点$\mathrm{P}$がちょうど$1$回転して元の点$(1,0)$に戻る確率を求めよ．

(2)　$2$回転して初めて動点$\mathrm{P}$が元の点$(1,0)$に戻る確率を求めよ．

【４】　非負の数列$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が不等式${a_n}^2+4a_n-{\displaystyle \frac{1}{n}}<0$を満たしている．$a_n$の$n$項までの和を$S_n$として，次の問いに答えよ．

(1)　${a_n}^{\mathrm{２}}<{\displaystyle \frac{1}{3n}}$を示せ．

(2)　$n=2^r-1\text{（}r=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$のとき，$S_n<{\displaystyle \frac{{(\sqrt{2})}^r-1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}-1)}}$を満たすことを示せ．

(3)　$S_{1000}$と$44$との大小をその理由とともに答えよ．