2011　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　複数の参加者がグー，チョキ，パーを出して勝敗を決めるジャンケンについて，以下の問いに答えよ．ただし，各参加者は，グー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．

(1)　$4$人で一度だけジャンケンをするとき，$1$人だけが勝つ確率，$2$人が勝つ確率，$3$人が勝つ確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$人で一度だけジャンケンをするとき，$r$人が勝つ確率を$n$と$r$を用いて表わせ．ただし，$n\geqq 2\text{，}1\leqq r<n$とする．

(3)　${\displaystyle \sum _{r=1}^{n-1}}{}_{n}C_r=2^n-2$が成り立つことを示し，$n$人で一度だけジャンケンをするとき，引き分けになる確率を$n$を用いて表わせ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$と，$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{G}$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)　等式${\mathrm{AG}}^2={\mathrm{OG}}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\mathrm{OA}}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表されているとき，

$a{\mathrm{AG}}^2+b{\mathrm{BG}}^2+c{\mathrm{CG}}^2=a{\mathrm{OA}}^2+b{\mathrm{OB}}^2+c{\mathrm{OC}}^2$

が成り立つための実数$a\text{，}b\text{，}c$についての条件を求めよ．

【３】　$3$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& e\\ 0& 0& f\end{array}\right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$A$と同じ型の単位行列を$E\text{，}$零行列を$O$とする．

(1)　$A^3$を求めよ．

(2)　$A^3=O$であるための必要十分条件は，$a=d=f=0$であることを示せ．

(3)　${(A+E)}^3=E$ならば，$A=O$であることを示せ．

【３】(1)　自然数$n$に対して，$s_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}$とする．このとき数学的帰納法により，

$s_n={\displaystyle \frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}}$

であることを示せ．

(2)　$a_1=0\text{，}{a}_2=1$とし，自然数$n$に対して，$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．

$\text{(ⅰ)}$　$b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ．

$\text{(ⅱ)}$　$b_n$を(1)で与えた$n$で表せ．

$\text{(ⅲ)}$　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

【４】　$2$つの関数$f(t)=t\log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$は$t\geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．

(2)　$t\geqq 1$のとき

$\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$

と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x\geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．

(3)　$xy$平面上で，曲線$y=h(x)\text{，}2$直線$x=f(2)\text{，}x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．

(1)　$q<p^2$を満たす実数$p\text{，}q$に対して，点$\mathrm{P}(p,q)$を考える．$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$における$C$の$2$本の接線がともに$\mathrm{P}$を通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p\text{，}q$を用いて表わせ．

(2)　(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線$\mathrm{QR}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_2}}$を求めよ．

【１】　$r$を正の定数とし，$n$を$3$以上の自然数とする．$C$を半径が$r$の円とする．円$C$に内接する正$n$角形の$1$辺の長さを$s_n\text{，}$円$C$に外接する正$n$角形の$1$辺の長さを$t_n$とする．ただし，正$n$角形が円$C$に外接するとは，円$C$が正$n$角形のすべての辺に接することである．

(1)　$s_n$を$r$と$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{s_n}{t_n}}$を$n$を用いて表せ．

(3)　$s_5=2$であるとき，円$C$に内接する正$5$角形の面積を，小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．ただし，$\tan 36\mathrm{°}=0.727$としてよい．

【２】　$f(x)=e^{-x}\cos x$とする．

(1)　$e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x$を微分せよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，

$S_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\{f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{2\pi }{2n}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2n}}\right)+\cdots f\left({\displaystyle \frac{n\pi }{2n}}\right)\}$

とおく．次の式が成り立つことを示せ．

$S_n<{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx<S_n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．曲線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{4-x^2}$を$C\text{，}$直線$y=ax+3a+1$を$l$とする．

(1)　直線$l$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$C$と$l$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$k$を正の定数とする．直線$y=kx$を$l$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$l$に垂直な直線を$m$とする．$2$次正方行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$により，直線$l$上の点は自分自身に移り，直線$m$上の点は原点に移るとする．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を座標平面上の点とする．点$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}$とする．

$\text{(ⅰ)}$　点$\mathrm{P}$は直線$l$上の点であることを示せ．

$\text{(ⅱ)}$　点$\mathrm{P}$が直線$l$上の点でないとき，直線$\mathrm{PQ}$と直線$l$は垂直であることを示せ．

$\text{(ⅲ)}$　$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,2)$を頂点とする三角形の辺上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$の動く範囲を求めよ．