2011　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して

${\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt={(\log x)}^2+a^{3}x-2a-4$

を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$が，$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2-a_n}{3-2a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．

(3)　$a_{n+1}-a_n<{\displaystyle \frac{1}{5000}}$を満たす最小の$n$を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{(x-a)}^2$と曲線$y=e^x$の共有点$\mathrm{P}(s,t)$において$2$曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$x\geqq a$のとき${\displaystyle \frac{{(x-a)}^2}{e^x}}$の最大値を求めよ．

【４】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{x\{1+{(\log x)}^2\}}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2\cos nxdx$（$n$は自然数）

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}\cos m\pi x\cos n\pi xdx$（$m\text{，}n$は$0$以上の整数）