2011　岡山県立大学　中期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式${({\log }_{3}x)}^{{\log }_{2}x}={\displaystyle \frac{1}{x}}$を解け．ただし，$x>1$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　実数$x\text{，}y$が$x^3+y^3=3xy$を満たすとき，$x+y$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　$a_1=1$である数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{n}}{S}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．

【３】　曲線$y=e^{\frac{1}{x}}$上の点$\mathrm{P}(t,e^{\frac{1}{t}})$における接線を$l$とする．ただし，$t>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S$を$t$で表せ．

(3)　$S$の最小値を求めよ．

(4)　$S$が最小になるとき，$\mathrm{\angle APO}$と$\mathrm{\angle ABO}$の比を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}dt\text{（}0\leqq x<1\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値を求めよ．

(3)　部分積分法により，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}f(x)dx$を求めよ．