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2011-11831-0101
2011 高知工科大学 前期
システム工,環境理工,情報学群
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする. 2 つの関数 f⁡( x)= x2- a⁢x+ 3 と g ⁡(x )= x2- (2⁢ a+1) ⁢x+a 2+a について,次の各問に答えよ.
(1) すべての実数 x について, f⁡( x)≧ 0 が成り立つための条件を a を用いて表せ.
(2) 1≦x ≦3 を満たすすべての実数 x について, f⁡( x)> 0 が成り立つための条件を a を用いて表せ.
(3) g⁡( x)≦ 0 を満たすすべての実数 x について, f⁡( x)> 0 が成り立つための条件を a を用いて表せ.
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【2】 ▵ABC の頂点を通らない直線 l が,辺 AC , 辺 BC の B 方向への延長線,および辺 AB と,それぞれ点 P ,Q , R で交わり,
AP:PC= α:1 CQ :QB=β :1
であるとする. CA→ =a→ , CB→ =b→ として,次の問に答えよ.
(1) CR→ を α , β ,a → ,b → で表し,等式 AP PC⋅ CQQB ⋅ BRRA= 1 を証明せよ.
(2) ▵QRB ,▵BCR , ▵APR の面積比が 1 :2:3 のとき, ▵APR と ▵CPR の面積比を求めよ.
(3) (2)のとき,直線 CR と直線 AQ の交点を D とする.線分の長さの比 AD :QD を求めよ.
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【3】 関数 f⁡( x)= 2 ⁢( log⁡x )2 -3⁢ log⁡x x ( x> 0) について,次の各問に答えよ.ただし log ⁡x は自然対数である.
(1) 方程式 f⁡( x)= 0 を解け.
(2) 関数 f⁡( x) の極大値と極小値を求めよ.また,そのときの x の値をそれぞれ求めよ.
(3) 曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
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【4】 次の各問に答えよ.
(1) x>0 のとき,不等式 ex> 1+x+ x 22 が成り立つことを証明せよ.
(2) limx →∞ x⁢e -x =0 を証明せよ.
(3) 関数 y =x⁢e -x の増減・凹凸を調べ,そのグラフを描け.
(4) n を自然数とする. In= ∫ 0n x⁢e -x ⁢dx を計算し, limn →∞ In を求めよ.