2011　高知工科大学　後期MathJax

【１】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2=x+y$を満たすとき，次の各問に答えよ．

(1)　座標平面上で，$x^2+y^2=x+y$の表す図形を答えよ．

(2)　$x+y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$y-x^2+x$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　底面が正方形で，$4$個の側面がすべて合同な二等辺三角形である四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$を考える．底面の正方形の一辺の長さを$x\text{，}$側面の二等辺三角形の等しい辺の長さを$a$とする．この四角錐の体積を$V$として，次の各問に答えよ．

(1)　$V$を$a$と$x$で表せ．

(2)　$x$のとりうる値の範囲を$a$を用いて表せ．

(3)　$V$の最大値を$a$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　$0$以上の整数$n$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x}{x}^{n}dx\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．ここで$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)　$a_0$と$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　等式

${\displaystyle \frac{a_n}{n!}}=1-{\displaystyle \frac{1}{e}}({\displaystyle \frac{1}{0!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots {\displaystyle \frac{1}{n!}})$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　次式が成り立つことを証明せよ．

$\text{①}$　$0\leqq a_n\leqq a_0$$\text{②}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{0!}}+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}})=e$

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 4& 7\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．

(2)　$n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が

$a_1=b_1=1\text{，}{a}_{n+1}=-a_n-4b_n\text{，}{b}_{n+1}=4a_n+7b_n$

で与えられるとき，一般項$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．