2011　北九州市立大学　前期

【１】　$3$つの相異なる実数$p\text{，}q\text{，}r$はこの順序で等差数列となり，$q\text{，}r\text{，}p$の順序で等比数列となる．さらに，$p\text{，}q\text{，}r$の和は$9$である．また，$3$つの相異なる実数$x\text{，}y\text{，}z$はこの順序で等比数列となり，$z\text{，}x\text{，}y$の順序で等差数列となる．さらに，$x\text{，}y\text{，}z$の積は$64$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$3$つの実数$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(2)　$3$つの実数$x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．

　つぎに，数列$\{a_n\}$は，$p\text{，}q\text{，}r$を初項，第$2$項，第$3$項 とする等差数列とし，数列$\{b_n\}$は$x\text{，}y\text{，}z$を初項，第$2$項，第$3$項とする等比数列とする．

(3)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$a_n$の絶対値$\left|a_n\right|$で与えられる数列の初項から第$10$項までの和を求めよ．

(5)　第$k$項が${\displaystyle \frac{1}{a_k{a}_{k+1}}}$で表される数列の初項から第$n$項までの和を求めよ．

【２】　関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフを$C$とし，$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,{\displaystyle \frac{1}{2}}{q}^2)$とおく．ただし$p<q$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_1$とし，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l_2$とする．また，直線$l_1$と$l_2$は直交しているものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の式を$p$を用いて表せ．

(2)　$l_2$の式を$p$を用いて表せ．

　以下では，直線$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}(\alpha ,\beta )$とする．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$を$p$を用いて表せ．

(4)　$l_1\text{，}C\text{，}$直線$x=\alpha$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$l_2\text{，}C\text{，}$直線$x=\alpha$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の比を求めよ．

【３】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{OB}$の長さを$3$とし，$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを$\theta$とする．ただし，点$\mathrm{B}$の$y$座標は正である．また，点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に接する円で半径が最小のものを$R$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{▵ODB}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(4)　円$R$の方程式を$\theta$を用いて表せ．

(5)　$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲を動くとき，円$R$の中心が描く図形の方程式を求めよ．

【４】　青，赤，白の同じ大きさの玉が各色$1$個ずつ入った箱が$5$つある．それぞれの箱から$1$個ずつ合計$5$個の玉を取り出す．取り出された$5$個について以下の問いに答えよ．

(1)　青玉が含まれていない確率をすべて同じ色の玉である確率を求めよ．

(2)　青玉の個数の期待値を求めよ．

(3)　取り出された$5$個が青玉$1$個，赤玉$2$個，白玉$2$個である確率を求めよ．

(4)　青玉と赤玉と白玉が少なくとも$1$個ずつ含まれている確率を求めよ．

(5)　青玉$1$個，赤玉$2$個，白玉$2$個を使って腕輪（ブレスレット）を作るとき，何通りの方法があるか．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$2$次関数，$y=x^2+x-13$および$y=-2x^2+4x+23$の共有点は$2$つで，その$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$である．また，この$2$つの共有点を通る直線の方程式は，$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　点$\mathrm{O}$を中心とし半径$R$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$の，辺$\mathrm{AB}$の長さが$2\text{，}\mathrm{\angle ABC}$および$\mathrm{\angle CAB}$の大きさがそれぞれ$15\mathrm{°}\text{，}135\mathrm{°}$のとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\boxed{\text{エ}}$で，三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$2$次不等式$x^2+x-2\leqq 0$の解は$\boxed{\text{カ}}$であり，$2$次不等式$x^2+x-2\leqq \left|x\right|$の解は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれた$5$枚のカードを，$1$枚引いては元に戻すという試行を$5$回繰り返すとき，$3$回以上$1$を引く確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，この$5$枚のカードから同時に$3$枚選び，それらを一列に並べてつくられる$3$桁の整数のうち，偶数は$\boxed{\text{ケ}}$通りある．

【１】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{サ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　集合$A\text{，}B$が全体集合$U$の部分集合で，$n(A)$で集合$A$の要素の個数を表す．$n(U)=100\text{，}n(A)=55\text{，}n(B)=33\text{，}n(A\cap B)=22$のとき，$n(A\cup B)=\boxed{\text{コ}}\text{，}n(A\cup \bar{B})=\boxed{\text{サ}}$である．ここで，$\bar{B}$は集合$B$の補集合を表す．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{フ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)　$3$次方程式$x^3+k{x}^2-4x-12=0$の解の$1$つが$2$の時，実数$k$の値は$k=\boxed{\text{タ}}$である．また，他の$2$つの解は$x=\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{フ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(2)　$2$点$\mathrm{A}(-1,4)\text{，}\mathrm{B}(2,1)$に対して，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:1$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，点$\boxed{\text{テ}}$を中心とする，半径$\boxed{\text{ト}}$の円となる．また，この円と直線$y=-x+k$が接するとき，$k=\boxed{\text{ナ}}\text{，}\boxed{\text{ニ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{フ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(3)　$0\leqq x<2\pi$とする．方程式$1+3\sin x=-\cos 2x$を解くと$x=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}\boxed{\text{ネ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{フ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(4)　$2$つの不等式${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-5)>2\text{，}{({\log }_{2}x)}^2-5{\log }_{2}x<-6$を満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{ノ}}<x<\boxed{\text{ハ}}$である．

【２】　以下の問い(1)〜(5)の空欄$\boxed{\text{タ}}\text{〜}\boxed{\text{フ}}$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(5)　数列$\{a_n\}$が漸化式$a_{n+1}=a_n+3n\text{（}n\geqq 1\text{），}{a}_1=1$で与えられているとき，一般項は$\boxed{\text{ヒ}}$である．また，初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{フ}}$である．

【３】　$2$つの放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-2\text{，}y=a{x}^2+3$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．答えを導く過程を記すこと．

(1)　この$2$つの放物線が共有点をもち，その点における$2$曲線の接線が直交するとき，定数$a$の値を求めよ．

(2)　(1)のとき，この$2$つの放物線で囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　(1)のとき，この$2$つの放物線で囲まれる部分を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，

$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\cdots \text{①}$

を満たす座標平面上の$1$次変換を考える．ここで$k$は実数とする．以下の問いに答えよ．答えを導く過程を記すこと．

(1)　$k=10$とする．この場合に，座標平面上の任意の点$(x,y)$について$\text{①}$式が成り立つ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}10& 1\\ 3& 8\end{array}\right)$とおく．実数$k$に対して$\text{①}$式が成立する点$(x,y)$が原点$(0,0)$以外にも存在するとき，$k$の値をすべて求めよ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}3& b\\ c& -2\end{array}\right)$とおく．また，行列$A$は逆行列を持たないとする．実数$k$に対して$\text{①}$式が成立する点$(x,y)$が原点$(0,0)$以外にも存在するとき，$k$の値をすべて求めよ．