2011　学習院大学　文学部MathJax

2011-13331-0101

2011　学習院大学　文学部

25点

2月9日実施

易□　並□　難□

【１】　次の $3$ つの条件をすべて満たす $3$ 角形の $3$ 辺の長さを求めよ．

(ⅰ)　最大角と最小角の差は $90 °$ である．

(ⅱ)　 $3$ 辺の長さを大きさの順に並べたものは等差数列である．

(ⅲ)　 $3$ 辺の長さの和は $3$ である．

2011-13331-0102

2011　学習院大学　文学部

25点

2月9日実施

易□　並□　難□

【２】　 $n$ を自然数とする．

(1)　等式

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} {}_{n}C_{k} = 0$

を示せ．

(2)　 $k$ が $0 ≦ k ≦ n$ を満たす整数のとき，等式

$(n + 1) {}_{n}C_{k} = (k + 1) {}_{n + 1}C_{k + 1}$

が成り立つことを示せ．

(3)　等式

$\sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k}}{k + 1} {}_{n}C_{k} = \frac{1}{n + 1}$

を示せ．

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25点

2月9日実施

易□　並□　難□

【３】　 $3$ 次関数 $y = x^{3}$ のグラフの接線で，放物線 $y = - {(x - \frac{4}{9})}^{2}$ にも接するものをすべて求めよ．

2011-13331-0104

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25点

2月9日実施

易□　並□　難□

【４】　 $m$ は正の実数である．放物線 $C_{1} : y = x^{2} + m^{2}$ 上の点 $P$ における $C_{1}$ の接線と放物線 $C_{2} : y = x^{2}$ との交点を $A ， B$ とし， $C_{2}$ 上の $A$ と $B$ の間の点 $Q$ に対して，直線 $AQ$ と $C_{2}$ とで囲まれる領域の面積と，直線 $QB$ と $C_{2}$ とで囲まれる領域の面積の和を $S$ とする． $Q$ が $C_{2}$ 上の $A$ と $B$ の間を動くときの $S$ の最小値は $P$ の取り方によらないことを示し，その値を $m$ を用いて表せ．