2011　学習院大学　理学部MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$3$次関数$y=x^3-3a{x}^2-3bx$が$x=p$と$x=q$とで極値をとるものとする．

(1)　$-1\leqq p\leqq 0$かつ$1\leqq q\leqq 2$となるような点$(a,b)$の動く範囲を平面上に図示せよ．

(2)　$(a,b)$が上の範囲を動くとき，$a+b$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$x$が$x\geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数

$y=e^{-\sqrt{3}x}\sin x$

の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

【３】　不等式

$x^2-x\leqq y\leqq x$

で表される平面上の領域を直線$y=x$のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【４】　コインを投げ，点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$上を動かす．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{B}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす．$\mathrm{B}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{C}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす．$\mathrm{C}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{A}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす．

　はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとき，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n\text{，}\mathrm{B}$にある確率を$b_n\text{，}\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．

(1)　$a_1=0\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{c}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．$n=2\text{，}3\text{，}4$に対して，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

(2)(ⅰ)　$a_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$b_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$c_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．

(3)　$b_n=c_n$であることを示せ．

(4)　$a_n$を求めよ．