2011　慶応義塾大学　理工学部

【１】

(1)　$a>0$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_0^a}{x}^2{(1-{\displaystyle \frac{x}{a}})}^{a}dx$

の値は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】

(2)　$k$を実数とする．座標平面上で，点$(x,y)$を直線$y=kx$に関して対称移動した点を$(x^{\prime },y^{\prime })$とすると

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{(イ)}}& \boxed{\text{(ウ)}}\\ \boxed{\text{(エ)}}& \boxed{\text{(オ)}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が成り立つ．

【１】

(3)　負でない実数$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$で$a_1\geqq b_1\geqq c_1$を満たすものが与えられているとき，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を次のように定める．$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$に対して$a_n-b_n\text{，}{a}_n-c_n\text{，}{b}_n-c_n$を大きさの順に並べ，大きい順に$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$とする．たとえば$a_1=23\text{，}{b}_1=14\text{，}{c}_1=2$とするとき，$a_2=21\text{，}{b}_2=12\text{，}{c}_2=9$であり，$a_3=12\text{，}{b}_3=\boxed{\text{(カ)}}\text{，}{c}_3=\boxed{\text{(キ)}}$である．

　次に，$a_1=10$で$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$はどれも$0$ではなく${\displaystyle \frac{a_1}{a_2}}={\displaystyle \frac{b_1}{b_2}}={\displaystyle \frac{c_1}{c_2}}$が満たされているとする．このとき$a_n=\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　$k$を実数として，$x$の$4$次関数$f(x)$を

$f(x)=x^4-k{x}^2+4x+k+3$

と定める．

(1)　方程式$f(x)=0$は，$k$の値によらず$x=\boxed{\text{(ケ)}}$を実数解としてもつ．また，この方程式の実数解が$\boxed{\text{(ケ)}}$のみとなるのは，$k=\boxed{\text{(コ)}}$のときである．

(2)　$k=4$のとき，$f(x)$は$x=\boxed{\text{(サ)}}$で最小値$\boxed{\text{(シ)}}$をとる．

(3)　方程式$f(x)$が相異なる$4$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は，$k>\boxed{\text{(ス)}}$である．$k$がこの範囲にあるとき，$f(x)=0$の$4$つの解を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{（}a<b<c<d\text{）}$とする．$a+c+d$と$acd$をそれぞれ$k$を用いて表すと，

$a+c+d=\boxed{\text{(セ)}}\text{，}acd=\boxed{\text{(ソ)}}$

となる．また，$k\to \infty$のとき，$bc\to \boxed{\text{(タ)}}$である．

【３】　実数$\theta$は

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$

の範囲を動くとする．空間内の動点$\mathrm{P}(\sqrt{3}\cos \theta ,-2,\sqrt{3}\sin \theta )$と点$\mathrm{Q}(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$を通る直線が，$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,y,0)$とする．$x\text{，}y$を$\theta$の関数として表すと，

$x=\boxed{\text{(チ)}}\text{，}y=\boxed{\text{(ツ)}}$

となる．これより，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$x\text{，}y$を用いて表すと，

$\cos \theta =\boxed{\text{(テ)}}\text{，}\sin \theta =\boxed{\text{(ト)}}$

となる．したがって，$\theta$が上の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の$xy$平面上の軌跡の方程式を$y=f(x)$とすれば，$f(x)=\boxed{\text{(ナ)}}$となる．

　次に，$xy$平面内の領域$D$を

$D=\{(x,y)|f(x)\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{5}{4}}\}$

と定め，領域$D$の面積を求めることを考える．直線$y={\displaystyle \frac{5}{4}}$を原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心として，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した直線の方程式は$y=\boxed{\text{(ニ)}}$となる．また，曲線$y=f(x)$を原点を中心として，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した曲線の方程式を$y=g(x)\text{（}x>0\text{）}$とすれば，

$g(x)=\boxed{\text{(ヌ)}}$

となる．領域$D$を原点を中心として，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転した領域を$D^{\prime }$とすれば，領域$D$と領域$D^{\prime }$は合同だから，

$D\text{の面積}=D^{\prime }\text{の面積}=\boxed{\text{(ネ)}}$

である．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正五角形の$5$つの頂点に反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$と名前をつける．いま，初めに頂点$\mathrm{A}$に白玉を$1$個，頂点$\mathrm{C}$に赤玉を$1$個置き次の操作を繰り返し行う．

　たとえば$1$回目にコインの表とさいころの$6$の目が出たとすると白玉が$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$と動き，白玉の位置が頂点$\mathrm{B}$となる．続いて$2$回目にコインの裏とさいころの$4$の目が出たとすると赤玉が$\mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$と動き，到達した頂点$\mathrm{B}$に白玉があるので，赤玉を頂点$\mathrm{B}$に置き，頂点$\mathrm{B}$にあった白玉を頂点$\mathrm{C}$に移す．

　以下，$2$つの玉が正五角形の隣り合う$2$頂点にある状態を「状態(S)」と呼ぶことにする．

(1)　$2$回目の操作を終えたとき頂点$\mathrm{D}$と頂点$\mathrm{E}$に玉がある確率は$\boxed{\text{(ノ)}}$である．

(2)　$n$回目の操作を終えたとき状態(S)となる確率を$p_n$とする．$p_1=\boxed{\text{(ハ)}}$である．また$p_{n+1}$と$p_n$の間には$p_{n+1}=\boxed{\text{(ヒ)}}$という関係式が成り立つ．これより$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{\text{(フ)}}$となる．

(3)　$n$回目の操作を終えたとき初めて状態(S)となる確率を$q_n$とする．$q_n$を$n$を用いて表すと$q_n=\boxed{\text{(ヘ)}}$である．

　いま，状態(S)となるまで操作を繰り返し，状態(S)となった時点で操作を終了する．ただし，操作を$r$回行っても状態(S)とならない場合は$r$回で操作を終了することとする．このとき，操作を行う回数の期待値を$r$を用いて表すと$\boxed{\text{(ホ)}}$となる．

【５】　座標空間で次の$8$つの点

$\mathrm{A}(-1,1,2)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1,2)\text{，}\mathrm{C}(1,-1,2)\text{，}\mathrm{D}(1,1,2)$

$\mathrm{E}(-1,1,0)\text{，}\mathrm{F}(-1,-1,0)\text{，}\mathrm{G}(1,-1,0)\text{，}\mathrm{H}(1,1,0)$

を頂点とする$1$辺の長さ$2$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．いま，点$\mathrm{P}(x,y,0)$を正方形$\mathrm{EFGH}$内の点（辺上も含む，ただし$\mathrm{P}\ne \mathrm{G}$）とし，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{G}$を通る直線を$l$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$を直線$l$上の点で$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AG}}$（$t$は実数）を満たすものとする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$が直交するとき$t$を$x$と$y$で表すと$t=\boxed{\text{(マ)}}$となる．

(2)　点$\mathrm{P}$から直線$l$に下ろした垂線の足は点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{G}$の間にあることを証明しなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上を動くとし，$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$と書くことにする．このとき，三角形$\mathrm{APG}$の面積の最大値と最小値，およびそれらを与える$\theta$の値を求めなさい．求める過程も書きなさい．