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【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(6)に答えなさい.
を以上の自然数,を以上の自然数とする.袋の中にからまでの番号がつずつ書かれた個の玉が入っている.ここで次の操作を回繰り返し行う.
操作
袋の中から玉個を等確率で取り出し,その番号を記録した上で袋に戻す.
集合を全体集合とし,の部分集合
を考える.
(1) となる確率はである.
(2) またはとなる確率はである.
(3) 集合の要素の個数がとなる確率はである.
(4) となる確率はである.ここではを全体集合としたときのの補集合を表す.
(5) に対して,集合の要素の最大値がとなる確率をとするとである.
(6) 集合を考える.のとき,集合の要素の最大値の期待値を求めなさい.
【4】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(3)に答えなさい.
関数および(ただし)のグラフのに対する部分をそれぞれ曲線とする.曲線上の点を通って負の傾きをもつ直線が曲線と交わる点のうち,座標の小さいほうを座標の大きいほうをとする.また直線と曲線で囲まれる領域の面積をとする.
(1) である.またを固定し,を正の実数全体にわたって動かすとき,においては最小値をとる.
(2) を固定するとき,が成り立つようなの値はである.
(3) を固定し,を負の実数全体にわたって動かすとき,をの関数と考えてそれぞれと書く.の導関数をを用いた式で表しなさい.またはにおいて最小値をとることを示しなさい.
(4) に対するの値をとするとである.したがってはの値によらず,だけで決まる.