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2011-13363-0701
2011 上智大学 経済(経済)学部
2月9日実施
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b ,c は整数で, a≧1 ,b≧0 , c≧0 とする. x の 2 次式 P ⁡(x )=a ⁢x2 +b⁢ x+c を考える.
(1) P⁡( 1)= 2 を満たす P⁡ (x ) は全部で ア 個存在する.
(2) 条件:
『 P⁡ (n) =5 を満たす自然数 n が存在する』
を満たす P⁡ (x ) は全部で イ 個存在する.このような P ⁡( x) のうち, P⁡( 3)= 17 を満たすものは
P⁡( x)= ウ ⁢ x2+ エ ⁢ x+ オ
である.
(3) 条件:
『 P⁡ (n) =3 を満たす自然数 n が存在し,かつ,任意の自然数 m に対して P ⁡(m ) が奇数である』
を満たす P⁡ (x) のうち, a が最大のものは
P⁡( x)= カ ⁢ x2+ キ ⁢ x+ ク
であり, a が最小のものは
P⁡( x)= ケ ⁢ x2+ コ ⁢ x+ サ
2011-13363-0702
【2】 ▵ABC において BC= 4 ,tan⁡ B2= 13 ,tan⁡ C2= 15 とする.
(1) ▵ABC の内接円の半径は シ ス である.
(2) sin⁡B= セ ソ ,sin⁡C = タ チ である.
(3) AB= ツ テ である.
(4) ▵ABC の面積は ト ナ である.
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【3】 xyz 空間内の正四面体 ABCD を考える.頂点 A , B ,C , D はすべて原点 O を中心とする半径 1 の球面 S 上にある. A の座標は ( 0,0, 1) であり, B の x 座標は正, y 座標は 0 である.また, C の y 座標は D の y 座標より大きい.
(1) B ,C , D の z 座標は ニ ヌ である.
(2) C の x 座標は ネ ノ ⁢ ハ である.
(3) O を端点とし ▵ABC の重心を通る半直線が S と交わる点を P とする.線分 AP の長さは ヒ フ ⁢ ヘ , ベクトル AP → とベクトル BP → の内積は ホ である.
以後,四面体 PABC を V P で表す.
(4) ▵APB の面積は マ ミ である.
(5) (3)で ▵ABC に対して点 P および四面体 V P を定めたときと同様に, ▵ACD ,▵ ABD ,▵ BCD に対してそれぞれ点 Q , R , T および四面体 VQ ,V R , VT を定める.四面体 ABCD と VP , VQ , VR , VT をあわせた立体を V とすると, V の表面積は ム であり, V の体積は メ モ ⁢ ヤ である.