2011　早稲田大学　スポーツMathJax

【１】　$3$個の赤球と$4$個の白球が入った箱がある．この箱から$1$回に$1$つずつランダムに球を取り出すことを繰り返し，$k$回目に始めて赤球を取り出したときに終了する．ただし，取り出した球は箱に戻さない．

(1)　$k=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{35}}$である．

(2)　$k$の期待値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし，$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{オ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

である．

【３】　初項$1\text{，}$公差$2$の等差数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}\text{，}\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$をそれぞれ

$b_n={\displaystyle \frac{2n+1}{a_n}}\text{，}{c}_n={\log }_3{b}_n\text{，}{d}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$

で定める．このとき，

$d_n={\log }_3(\boxed{\text{カ}}n+\boxed{\text{キ}})$

となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，

${\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ク}}}^{m+1}+\boxed{\text{ケ}}m+\boxed{\text{コ}}}{4}}$

となる．

【４】　$p\text{，}q$を実数の定数とする．$2$次方程式$x^2+px+q=0$は連続した$2$個の整数を解にもち，$2$次方程式$x^2+qx+p=0$は少なくとも$1$つの正の整数を解にもつ．このような定数$p\text{，}q$の組は$2$組あり，

$(p,q)=(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})\text{，}(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$

である．ただし，$\boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{ス}}$を満たすものとする．

【５】　$a$を$0$でない実数とする．$2$つの異なる曲線

$C_1:y=x^2-2x+5\text{，}{C}_2:y=a{x}^2+(1-3a)x+{\displaystyle \frac{13}{8}}$

は，ある共有点$\mathrm{P}$で共通な接線$l$をもつ．さらに，曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$において$l$以外の接線を，$l$と点$\mathrm{R}$で直交するように引く．このとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$であり，共通接線$l$の方程式は$\boxed{\text{チ}}x-\boxed{\text{ツ}}y+\boxed{\text{テ}}=0$である．また，曲線$C_2$は$▵\mathrm{PQR}$の面積を$1:\boxed{\text{ト}}$に分ける．ただし，$\boxed{\text{タ}}$〜$\boxed{\text{ト}}$はできる限り小さい自然数で答えること．

【６】　図のように，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$9$角形の頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_9$から，長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き，それらの交点を${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_9$とする．これらの点を${\mathrm{A}}_1\to {\mathrm{B}}_1\to {\mathrm{A}}_2\to {\mathrm{B}}_2\to \cdots \to {\mathrm{A}}_9\to {\mathrm{B}}_9\to {\mathrm{A}}_1$の順に線分で結んでできた図形を星型$S$とよぶ．ここで，$\tan 10\mathrm{°}=a$とするとき，$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$を底辺としたときの高さを$h$とすると

$h={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}a}{\boxed{\text{ニ}}-a^{\boxed{\text{ヌ}}}}}$

である．よって，星型$S$の面積は$\boxed{\text{ネ}}h$である．

【７】　座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．

(1)　不等式$|x|+2|y|\leqq 4$の表す領域を$D$とする．領域$D$内に格子点は$\boxed{\text{ノ}}$個ある．

(2)　$n$を自然数として，不等式$|x|+2|y|\leqq 2n$の表す領域を$F$とする．領域$F$内の格子点の総数は$(\boxed{\text{ハ}}{n}^2+\boxed{\text{ヒ}}n+\boxed{\text{フ}})$個である．