2011　関西大学　全学部日程　法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部2月7日実施MathJax

2011-14991-0901

2011　関西大学　全学部日程

法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【１】　実数 $x ， y ， z$ が次の関係を満たすとする．

${\begin{cases} x + y + z = 3 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{3} \end{cases} \dots$ (＊)

　次のを数値でうめよ．

　(＊)を用いると，次の関係が成り立つことがわかる．

$x y z - ① (x y + y z + z x) + ② (x + y + z) - 27 = 0$

　上の式の左辺を因数分解することにより

$(x - ③) (y - ③) (z - ③) = 0$

が得られる．以上により

$x^{2} y z - 3 x^{2} z - 3 x^{2} y - 6 x y z + 9 y^{2} + 18 x y$

$+ 9 y z + 18 z x - 54 x - 27 y - 27 z = - ④$

が成り立つ．

2011-14991-0902

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法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【２】　放物線 $y = x^{2}$ 上に $2$ 点 $P (1, 1) ， Q (α, α^{2})$ がある．次のをうめよ．ただし， $①$ 以外のには，数値が入る．

(1)　線分 $PQ$ の長さを $α$ を用いて表すと $①$ である．

(2)　線分 $PQ$ の長さが $α^{2}$ であるとき， $α$ は次の方程式を満たす．

$α^{2} + ② α - ③ = 0$

(3)　 $α < 0$ とするとき，(2)の条件を満たす点 $Q$ の座標は $(④, ⑤)$ である．

(4)　(3)で得られた点 $Q$ を通る $y$ 軸に平行な直線と，放物線 $y = x^{2}$ および $x$ 軸で囲まれてできる図形の面積は $⑥$ である．

2011-14991-0903

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法・文・経済・商・社会・政策創造・人間健康・総合情報・社会安全学部

2月7日実施

易□　並□　難□

【３】　正の整数 $m ， n （ m ≧ 3 ）$ について，次の問いに答えよ．

(1)　正の整数 $p$ を初項とする公差 $2$ の等差数列 ${a_{k}}$ の第 $n$ 項までの和が $n^{m}$ であるとき， $p$ を $m$ と $n$ を用いて表せ．

(2)　(1)の $p$ は奇数であることを示せ．