2011　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式

$2x^2+8x+2m=0\cdots \text{①}$

$x^2+mx+2m-4=0\cdots \text{②}$

が共通の解をもつのは，$m=\boxed{\text{ア}}$または$m=\boxed{\text{イ}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{ア}}>\boxed{\text{イ}}$とする．$m=\boxed{\text{ア}}$のとき，$\text{①}$と$\text{②}$の共通の解は$x=\boxed{\text{ウ}}$であり，$m=\boxed{\text{イ}}$のとき，$\text{①}$と$\text{②}$の共通の解は$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,1)$にある確率は$\boxed{\text{オ}}\text{，}(3,1)$にある確率は$\boxed{\text{カ}}\text{，}(2,1)$にある確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,1)$にある確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$k$は実数とする．$xy$平面において直線

$y=-x+1\cdots \text{①}$

が放物線

$y=-x^2+k\cdots \text{②}$

に接するとする．このとき$k$の値は$\boxed{\text{ア}}$である．また，放物線$\text{②}$と直線$\text{①}$が共有点をもたないような$k$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．放物線$\text{②}$上の点$\mathrm{P}(a,-a^2+k)$から直線$\text{①}$までの距離$d$は$d=\boxed{\text{ウ}}$で表される．$k$が$\boxed{\text{イ}}$の範囲にあるとき，放物線$\text{②}$上の点$\mathrm{P}(a,-a^2+k)$から直線$\text{①}$までの距離$d$が最小になるのは$a=\boxed{\text{エ}}$のときで，そのときの距離$d$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$において初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．このとき

$S_n=2a_n+5n-12\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っているとする．数列の初項$a_1$は$S_1$と一致することを使うと，$a_1$の値は$\boxed{\text{カ}}$であることがわかる．第$n$項$a_n$を$a_{n-1}$で表すと$a_n=\boxed{\text{キ}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$となるので，$a_n\text{，}{S}_n$をそれぞれ$n$の式で表すと$a_n=\boxed{\text{ク}}\text{，}{S}_n=\boxed{\text{ケ}}$となる．

【３】　$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}\text{，}$大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x\leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．

(3)　放物線$y=x^2$上の点$(p,p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．

(4)　上の(3)において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．