2011　関西学院大　文学部個別日程2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，$2$つの$2$次方程式

$x^2-2x+a=0\cdots \text{①}$

${\displaystyle \frac{9}{4}}{x}^2+3ax-2a+15=0\cdots \text{②}$

について考える．$\text{①}$が実数解をもつような$a$の値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{ア}}$である．$\text{②}$が実数解をもつような$a$の値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\leqq a$である．また，$\text{①}\text{，}\text{②}$が共に実数解をもつような$a$の値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{エ}}$であり，$\text{①}\text{，}\text{②}$のうち少なくとも一方は実数解をもつような$a$の値の範囲は$a\leqq \boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\leqq a$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つの野球チーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．両チームが試合を繰り返し行うとき，それらは互いに独立な試行と考える．また，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$で，引き分けはないとする．試合を$3$回繰り返すとき，$\mathrm{A}$が$3$連勝する確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また，試合を$4$回繰り返すとき，$\mathrm{A}$が$1$勝$3$敗または全敗となる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，勝ちと負けが交互になる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

　$\mathrm{A}$が$1$勝するか，または$4$連敗するまで試合を繰り返し，それ以降は試合を行わないものとする．このとき，$\mathrm{A}$の勝ち数の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{B}$の勝ち数の期待値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面において曲線$y=x^3-x^2-2x$を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線が直線$y=-x$と平行であるとすると，点$\mathrm{A}$の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$または$\boxed{\text{イ}}$である（ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする）．また，点$\mathrm{A}$の$x$座標が$\boxed{\text{ア}}$のとき，この接線と曲線$C$との共有点の個数は$\boxed{\text{ウ}}$である．直線$y=-x$と曲線$C$の共有点のうち，$x$座標が最小のものを点$\mathrm{P}\text{，}x$座標が最大のものを点$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$\beta -\alpha$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{AC}=7\text{，}\mathrm{BC}=8$とする．このとき，$\cos A=\boxed{\text{オ}}\text{，}\sin A=\boxed{\text{カ}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S_1$とすると，$S_1=\boxed{\text{キ}}$である．また，$s\text{，}t$を実数とし，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$によって定める．$s\text{，}t$が$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq s+t\leqq 1$を満たしながら変化するとき，点$\mathrm{P}$が動く範囲の面積を$S_2$とすると，$S_2=\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$a$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=x^3-10x^2+24x$と$g(x)=ax$において，$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=g(x)$を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$x$の共有点が$1$個であるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a>0$であるとき，$C$と$l$の共有点が$2$個であるような$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値であるとき，$x\geqq 0$の範囲における関数$h(x)=f(x)-g(x)$の増減表をかいて，関数$h(x)$が最小値をとるときの$x$の値と最小値を求めよ．