2011　関西学院大　神,商,国際,教育,総合政策学部個別2月6日MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$xy$平面において，放物線$y=4x^2-4x$と直線$y=2x+4$の共有点のうち$x$座標が正のものを$\mathrm{A}\text{，}$負のものを$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$点$\mathrm{B}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．また，${\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$に対し，点$\mathrm{P}(x,4x^2-4x)$を放物線$y=4x^2-4x$上の点とする．このとき，$▵\mathrm{PA}{\mathrm{A}}^{\prime }$の面積は$\boxed{\text{ア}}\text{，}▵\mathrm{PB}{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積は$\boxed{\text{イ}}\text{，}▵\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．（ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}$はすべて$x$についての式である）．$S=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}$とする．${\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲で点$\mathrm{P}(x,4x^2-4x)$が変化するとき，$S$の最小値は$\boxed{\text{エ}}$であり，最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋$\mathrm{A}$には赤玉$3$個と白玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$6$個と白玉$5$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらの玉がどちらも赤色である確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，同じ色である確率は$\boxed{\text{キ}}\text{，}$違う色である確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，袋$\mathrm{A}$からは$2$個，袋$\mathrm{B}$からは$1$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉がすべて赤玉である確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，取り出した玉のうち$2$個が赤玉，$1$個が白玉である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$は正の実数とする．$x\text{，}y$が$2x+y=12-4a$を満たすとき，$xy$は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$で最大値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．さらに，$a$が$0<a\leqq 3$の範囲で変化するとき，$a$の関数$f(a)=a(\boxed{\text{ウ}})$は$a=\boxed{\text{エ}}$で最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=1\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=x$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{カ}}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分しているとすると$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が垂直であるとき$x=\boxed{\text{ケ}}$である．

【３】　$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3a{x}^2+2x+1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$m$であるものが$2$本引けるとき，$m$の値の範囲を求めよ．

(2)　$m$が(1)で求めた範囲にあるとき，曲線$y=f(x)$の傾きが$m$である$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標を求めよ．