2011　関西学院大　社会,法個別日程2月7日MathJax

(1)　$a$を実数とする．$2$次関数$y=x^2-4x+a^2+3a$の$0\leqq x\leqq 3$における最小値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{イ}}$である．$0\leqq x\leqq 3$において常に$x^2-4x+a^2+3a>0$が成り立つような$a$の値の範囲は$a<\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}<a$であり，$0\leqq x\leqq 3$において常に$x^2-4x+a^2+3a<0$が成り立つような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{オ}}<a<0$である．

(2)　数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$を使って$3$桁の自然数をつくる．ただし，同じ数字は繰り返して使わないものとする．このようにしてつくられる数は全部で$\boxed{\text{カ}}$個ある．これら$\boxed{\text{カ}}$個の数のうち，百の位の数が$1$であるものの個数は$\boxed{\text{キ}}$である．また，百の位の数が$2$であるものの個数，$3$であるものの個数，$4$であるものの個数も，やはり$\boxed{\text{キ}}$である．よって，上のような$\boxed{\text{カ}}$個の数の百の位の数をすべて合計すると$\boxed{\text{ク}}$になる．同様に考えると，十の位の数をすべて合計しても，一の位の数をすべて合計しても，やはり$\boxed{\text{ク}}$になる．よって数字$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$を使い，同じ数字は繰り返して使わないでつくられる$\boxed{\text{カ}}$個のすべての数を合計すると$\boxed{\text{ケ}}$になる．

(1)　$a$を実数とする．$2$次方程式$4x^2+ax+\sqrt{3}=0$の$2$つの解が$\sin \theta \text{，}\cos \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$であるとき，解と係数の関係より，$\sin \theta +\cos \theta =\boxed{\text{ア}}\text{，}\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{イ}}$となる．よって$\theta =\boxed{\text{ウ}}$であり，$a=\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$\{a_n\}$はすべての項が正である数列で，$a_1=1\text{，}{a}_2=9\text{，}{a}_{n+1}{a_{n-1}}^2={a_n}^3\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとする．$b_n={\log }_3{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくと，$b_1=\boxed{\text{オ}}$で，$b_n$と$b_{n-1}$の間には関係式$\boxed{\text{カ}}$が成り立つ．よって，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{キ}}$となる．したがって，${\log }_3{a}_n$を$n$の式で表すと${\log }_3{a}_n=\boxed{\text{ク}}$となる．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ケ}}$となる．

(1)　$\angle \mathrm{POA}$を$\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$の式で表せ．

(2)　$▵\mathrm{POA}$の面積$S$を$t$の式で表せ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲で動くとき，$S$の増減表をかいて，$S$を最大にする$t$の値を求めよ．