2011　福岡大学　工・薬学部センタープラスMathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}}$のとき， $x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$の値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{q}-\sqrt{3}}{\sqrt{q}+\sqrt{3}}}$が$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=62$を満たすとき，$p$の値は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とするとき，${\log }_{10}15$の値を求めると，${\log }_{10}15=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$n$が整数のとき${15}^n$が$13$桁の整数になるのは，$n=\boxed{\text{(4)}}$のときである．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個のさいころを同時に投げる．$3$つの目の積が$12$となる確率は$\boxed{\text{(5)}}$である．また，$3$つの目がすべて異なり，$3$つの目の中で最も大きい目が残りの$2$つの目の和と一致する確率は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=3$とし，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{AP}=x$とおく．さらに，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AQ}={\displaystyle \frac{6}{x}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの$2$乗を$x$を用いて表すと${\mathrm{PQ}}^2=\boxed{\text{(1)}}$であり，$\mathrm{PQ}$の最小値は$\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，$x>2$とする．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を直交する単位ベクトルとする．$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{d}=k\overrightarrow{b}$とおく．ただし，$k$は実数とする．このとき，$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$の大きさを$k$を用いて表すと$\boxed{\text{(3)}}$である．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$のなす角が$60\mathrm{°}$であるとき，$k$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．曲線$y=f(x)$が$2$点$\mathrm{P}(-1,-7)\text{，}\mathrm{Q}(3,5)$を通り，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$におけるこの曲線の接線の傾きが等しいとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=f(x)$は原点を通るものとする．$C$上に点$\mathrm{P}(p,f(p))$を考える．ただし$p>0$とする．原点における$C$の接線$l_1$と点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l_2$が直交していて，その交点の$y$座標が$-1$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$p$を用いて$f(x)$を表せ．

(ⅱ)　放物線$C$と直線$l_1\text{，}{l}_2$が囲む部分の面積が,${\displaystyle \frac{p^3}{12}}$であるとき，$p$の値を求めよ．