2012　北海道大学　後期MathJax

【１】　$n$を$3$以上の整数とする．$1$から$3n$までの番号が書かれた$3n$枚のカードを$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$さん，$\mathrm{C}$さんの$3$人に$n$枚ずつ配る．

(1)　カードの配り方は何通りあるか．

(2)　$\mathrm{A}$さんのカードの番号の最小値が$n+1$で，$\mathrm{B}$さんのカードの番号の最小値が$2n-1$である配り方は何通りあるか．

【２】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)$をとる．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}(x,y)$は，$\angle \mathrm{APB}$が$45\mathrm{°}$または$135\mathrm{°}$となるように動くものとする．

(1)　$t=x^2-1$とおく．$x$と$y$の満たす条件を$t$と$y$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

(3)　点$\mathrm{Q}(4,4)$を考える．線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　実数$a>0$について，$I(a)={\displaystyle {\int }_1^e}|\log ax|dx$とする．ただし，$e=2.7182\cdots$は自然対数の底とする．

(1)　$I(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$I(a)$の最小値，およびそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　$x\leqq 0$のとき，$1+x\leqq e^x\leqq 1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$であることを示せ．

(2)　$n$を自然数とする．正の数$a$が$a^{{10}^n}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとき，不等式

$e^{-0.70\times {10}^{-n}}<a<e^{-0.69\times {10}^{-n}}$

を示せ．必要ならば，$2$の自然対数$\log 2$が$0.69<\log 2<0.70$を満たすことを用いてもよい．

(3)　(2)で与えた$a$について，不等式

$0.\underset{\stackrel{⏟}{n\text{個}}}{9\cdots 9}3<a<0.\underset{\stackrel{⏟}{n\text{個}}}{9\cdots 9}4$

を示せ．ここで，$0.\underset{\stackrel{⏟}{n\text{個}}}{9\cdots 9}3$は，小数点以下に$9$が$n$個続き，その次に$3$が現れる小数である．