2012　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y={(2\sin \theta -3\cos \theta )}^2-(2\sin \theta -3\cos \theta )+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,m)=\boxed{\text{(a)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$x^2-4x-3=0\text{，}x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p\text{，}q$は$(p,q)=\boxed{\text{(b)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　平面上に$\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(-2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし，$b>0\text{，}0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=\boxed{\text{(c)}}$．

【２】　連立不等式$x^2+y^2\leqq 1\text{，}\sqrt{2}{x}^2\leqq y$を満たす部分の面積を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　${\log }_{10}(x+2)-{\log }_{10}\sqrt{6x+19}\geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めると$\boxed{\text{(ア)}}$・

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　右記の図のような$1$辺の長さが$1$の正六面体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において$\mathrm{AG}$の長さを求めると$\boxed{\text{(イ)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　箱の中に，平成$19$年から平成$23$年の各年に発行された$\mathrm{1,000}$円の商品券が$1$枚ずつ，$\mathrm{5,000}$円の商品券が$1$枚ずつ，$\mathrm{10,000}$円の商品券が$1$枚ずつ，計$15$枚の商品券が入っている．そこから$1$枚ずつ$3$枚の商品券を取り出したとき，取り出された商品券の発行年がすべて異なり，かつそれらの合計が$\mathrm{15,000}$円以上になる確率は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．ただし，どの商品券も同形同質であり，一度取り出された商品券は箱に戻さないものとし，各商品券には発行年と額面が記載されているものとする．

【４】　$-1<x<1$を定義域とする関数$f_p(x)={\displaystyle \frac{x-p}{1-px}}\text{，}{f}_q(x)={\displaystyle \frac{x-q}{1-qx}}\text{（}-1<p<1\text{，}-1<q<1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　定義域内のすべての$x$に対して，$-1<f_q(x)<1$を示せ．

(2)　定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))={\displaystyle \frac{x-r}{1-rx}}$を満たすとき，$r$を$p$と$q$を用いて表し，$-1<r<1$を示せ．ただし，$f_p(f_q(x))$は$f_p(y)={\displaystyle \frac{y-p}{1-py}}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする．

(3)　定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}y\geqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．

(2)　(1)のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．