2012　弘前大学　前期MathJax

2012-10041-0101

2012　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援，地域生活），医（看護，検査技術，理学，作業療法），農学生命科学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $0 ≦ x < 2 π$ のとき，不等式 $2 \sin x > \cos (x - \frac{π}{6})$ を解け．

2012-10041-0102

2012　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援，地域生活），医（看護，検査技術，理学，作業療法），農学生命科学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　 $\log_{3} 5 = a ， \log_{5} 7 = b$ とするとき， $\log_{105} 175$ を $a$ と $b$ で表せ．

2012-10041-0103

2012　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援，地域生活），医（看護，検査技術，理学，作業療法），農学生命科学部

易□　並□　難□

【２】　点 $(a, b)$ は円周 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上を動くとする．

(1)　 $t = a + b$ とおくとき， $a + a b + b$ を $t$ の式で表せ．

(2)　 $a + a b + b$ の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの $t = a + b$ の値をそれぞれ求めよ．

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2012　弘前大学　前期

数学I，II，A，B

人文，教育（教育科学，発達心理，幼児，家庭科，特別支援，地域生活），医（看護，検査技術，理学，作業療法），農学生命科学部

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ について次の問いに答えよ．

(1)　 $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．

(2)　実数 $a$ に対して， $a ≦ x ≦ a + 2$ のときの $f (x)$ の最小値を $g (x)$ とおく．関数 $b = g (a)$ のグラフの概形を $a b$ 平面上にかけ．

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2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（放射線技術学科），理工学部

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【１】　放物線 $y = x^{2}$ を $C$ とし，放物線 $x - 3 = {(y - 7)}^{2}$ を $D$ とする． $k$ は定数として直線 $y = 2 x + k$ を $L$ とする． $L$ と $C$ は異なる $2$ 点 $P ， Q$ で交わり， $L$ と $D$ は異なる $2$ 点 $R ， S$ で交わるとする．

(1)　 $k$ の値の範囲を求めよ．

(2)　線分 $PQ$ と線分 $RS$ の長さの和が最大になるときの $k$ の値を求めよ．

2012-10041-0106

2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（医，放射線技術学科），理工（数理学科除く）学部

易□　並□　難□

【２】　 $f (x) = (x^{2} + (2 - e) x + 1) e^{x}$ とする．ここで $e$ は自然対数の底である．

(1)　関数 $f (x)$ の極大値を求めよ．

(2)　上で求めた極大値を $b$ として，曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = b$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

2012-10041-0107

2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

教育（数学，理科，技術専修），医（放射線技術学科），理工学部

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【３】　座標平面に点 $E (1, 0) ， F (1, 1) ， F^{'} (- 5, 11)$ がある．さらに点 $E^{'}$ は第 $1$ 象限にあり， $O$ を原点とするとき，三角形 ${OE}^{'} F^{'}$ は角 $E^{'}$ が直角の二等辺三角形である．

(1)　点 $E^{'}$ の座標を求めよ．

(2)　点 $E$ を点 $E^{'}$ に，点 $F$ を点 $F^{'}$ に移すような $1$ 次変換を $f$ とする． $f$ を表す行列を求めよ．

(3)　座標平面に三角形 $OPQ$ があり，(2)の $1$ 次変換 $f$ により点 $P$ が点 $P^{'}$ に，点 $Q$ が点 $Q^{'}$ に移るとする．三角形 $OPQ$ と三角形 ${OP}^{'} Q^{'}$ は相似であることを示せ．

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2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

医（医学科）学部

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【４】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x + y = \frac{1}{3} π$ のとき $\sin x + \sin y$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　 $\sin x + \sin y = \frac{8}{5}$ のとき $\sin (x + y)$ のとりうる値の範囲を求めよ．

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2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

理工（数理科学科），医（医学科）学部

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【５】　 $f (θ) = \cos 2 θ + 2 \cos θ ， g (θ) = \sin 2 θ + 2 \sin θ$ とする．

(1)　 $0 ≦ θ ≦ π$ の範囲において，関数 $f (θ) ， g (θ)$ の増減を調べよ．

(2)　 $x y$ 平面上の曲線 $x = f (θ) ， y = g (θ) （ - π ≦ θ ≦ π ）$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

2012-10041-0110

2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

理工（数理科学科），医（医学科）学部

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【６】　 $x y$ 平面上の楕円 $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ を $C$ とする．

(1)　直線 $y = a x + b$ が楕円 $C$ に接するための条件を $a$ と $b$ の式で表せ．

(2)　楕円 $C$ の外部の点 $P$ から $C$ に引いた $2$ 本の接線が直交するような点 $P$ の軌跡を求めよ．

2012-10041-0111

2012　弘前大学　前期

旧課程数学I，II，III，A，B，C

理工（数理科学科）学部

易□　並□　難□

【７】　 $n$ を自然数とする．袋の中に $n$ 枚のカードが入っていて，それらに $1$ から $n$ までの自然数がひとつずつ書かれている．袋からカードを $1$ 枚取り出し，書かれている数を記録し，カードを袋に戻すという試行を $3$ 回繰り返す． $3$ 回の試行で記録された数の最大値を $X$ とするとき， $X$ の期待値を求めよ．

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