2012　東北大学　後期MathJax

(1)　実数$x\text{，}y$が$4^x-4\cdot 2^x+9^y-2\cdot 3^y\leqq -1$を満たすとき，$2^x+3^y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　実数$x\text{，}y$が$4^x-2\cdot 2^x+2^y\leqq 0$を満たすとき，$x+y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$x$を正の有理数とし，$f(x)$の値を互いに素な正の整数$p\text{，}q$を用いて$f(x)={\displaystyle \frac{q}{p}}$と表す．このとき，$q\leqq 3$となるような$x$をすべて求めよ．

(1)　$2$回の操作を終えた後のカードの並び方は，全部で何通りありうるか求めよ．

(2)　$4$回の操作の過程で，数字$3$が書かれたカードが$1$回も動かされることがない確率を求めよ．

(3)　$4$回の操作を終えた後，数字$3$が書かれたカードが左から$3$番目にある確率を求めよ．

(1)　点$\mathrm{M}$から平面$L$に下ろした垂線と$L$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を平面$L$上を動く点とするとき，線分$\mathrm{PB}$および線分$\mathrm{PC}$の長さの$2$乗の和${\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$の最小値を求めよ．

$x\leqq a\text{，}y\geqq a\text{，}y\leqq -x^2+2x$

の表す領域の面積を$S(a)$とおく．$S(a)$が最大となる$a$の値を求めよ．

(1)　$0<t<1$に対し，線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．点$\mathrm{N}$から平面$L$に下ろした垂線と$L$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を平面$L$上を動く点とするとき，$2{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$の最小値を求めよ．

(ⅰ)　時刻$0$に$\mathrm{Q}$は原点にある．

(ⅱ)　時刻$n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$における$\mathrm{Q}$の座標が$x$であるとき，時刻$n+1$に$\mathrm{Q}$は，確率$p$で座標が$x+1$である点に移動し，確率$1-p$で座標が$x+2$である点に移動する．

時刻$k$における$\mathrm{Q}$の座標を$X_k$で表し，$n\geqq 1$に対し，数$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$を点$\mathrm{Q}$の時刻$n$までの訪問点とよぶことにする．以下の問いに答えよ．

(1)　$4$と$6$がともに$\mathrm{Q}$の時刻$6$までの訪問点となる確率を求めよ．

(2)　$m$を自然数とする．$3$から$3m$までの$3$の倍数$3\text{，}\cdots \text{，}3m$のいずれも$\mathrm{Q}$の時刻$3m$までの訪問点とならない確率を求めよ．

(1)　実数$\theta$に対し，

$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta \text{，}\beta =\cos \theta -i\sin \theta$

とおく．すべての自然数$n$に対して，

${\alpha }^n=\cos n\theta +i\sin n\theta \text{，}{\beta }^n=\cos n\theta -i\sin n\theta$

が成り立つことを示せ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とし，(1)で定めた$\alpha \text{，}\beta$を考える．${\alpha }^7=1$を示せ．また，$k\text{，}l$は自然数で$k+l$が$7$の倍数のとき，${\alpha }^k={\beta }^l$となることを示せ．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とし，(1)で定めた$\alpha \text{，}\beta$を考える．

$A=\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^4\text{，}B=\beta +{\beta }^2+{\beta }^4$

とおいたとき，$A+B\text{，}AB$の値を求めよ．

(4)　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$のとき，$\sin \theta +\sin 2\theta +\sin 4\theta$の値を求めよ．

(1)　三角形${\mathrm{P}}_k\mathrm{C}{\mathrm{P}}_{k+1}\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$の内接円の半径を求めよ．

(2)　三角形${\mathrm{P}}_k\mathrm{C}{\mathrm{P}}_{k+1}\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$の内接円の面積の総和を$S_n$とする．

$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{3+{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}}$

とおくと，$n{S}_n\leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}{I}_n$となることを示せ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$を求めよ．