2012　福島大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．

$|xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y}|=0$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．

$3{\log }_{0.5}(x-1)>{\log }_{0.5}(-x^2+6x-7)$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}x\sin 2xdx$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(9,12)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(25,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$および，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円と外接円を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円は，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$とそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$で接する．また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心と点$\mathrm{A}$を通る直線は，辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$で交わる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さを求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．

(4)　点$\mathrm{G}$の座標を求めなさい．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の方程式を求めなさい．

【３】　$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=-2a_n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$を次のような群に分ける．このとき，以下の問いに答えなさい．

$\begin{array}{c}|\\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_1,\\ \text{第}1\text{群}\end{array}$$\begin{array}{c}|\\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_2,a_3,a_4,\\ \text{第}2\text{群}\end{array}$ $\begin{array}{c}|\\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_5,a_6,a_7,a_8,a_9,\\ \text{第}3\text{群}\end{array}$ $\begin{array}{c}|\\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16},\\ \text{第}4\text{群}\end{array}$ $\begin{array}{c}|\\ \end{array}\begin{array}{c}{a}_{17},\cdots \\ \text{第}5\text{群}\end{array}$

(1)　第$10$群に含まれる項の個数を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　$a_n=1025$となる項$a_n$は第何群に含まれているか求めなさい．

(4)　第$k$群（$k=2\text{，}3\text{，}\cdots$）に含まれる項の平均値を求めなさい．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とするとき，極限

$c=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1+b^n}{a^{n+1}+b^{n+1}}}$

を考える．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a=2\text{，}b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．

(2)　$a>2\text{，}b=2$のとき，$c$の値を求めなさい．

(3)　$b=3$のとき，$c={\displaystyle \frac{1}{3}}$となる$a$の範囲を求めなさい．