2012　筑波大学　前期MathJax

【１】　$x$の方程式$|{\log }_{10}x|=px+q$（$p\text{，}q$は実数）が$3$つの相異なる正の解をもち，次の$2$つの条件を満たすとする．

(Ⅰ)　$3$つの解の比は，$1:2:3$である．

(Ⅱ)　$3$つの解のうち最小のものは，${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きく，$1$より小さい．

このとき，$A={\log }_{10}2\text{，}B={\log }_{10}3$とおき，$p$と$q$を$A$と$B$を用いて表せ．

【２】　曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x+2}}\text{（}x>-2\text{）}$を考える．曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_1(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線を$l_1$とし，$l_1$と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$点${\mathrm{Q}}_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点を${\mathrm{P}}_2$とおく．以下同様に，自然数$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$に対して，点${\mathrm{P}}_n$における接線を$l_n$とし，$l_n$と$x$軸との交点を${\mathrm{Q}}_n\text{，}$点${\mathrm{Q}}_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とおく．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$とする．$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し，$x_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$l_n\text{，}x$軸，$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　曲線$C:y=\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点$\mathrm{P}(e^n,n)\text{，}\mathrm{Q}(e^{2n},2n)$をとり，$x$軸上に点$\mathrm{A}(e^n,0)\text{，}\mathrm{B}(e^{2n},0)$をとる．四角形$\mathrm{APQB}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)　$V(n)$を$n$の式で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(n)}{V(n)}}$を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，次が満たされているとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$

点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{H}$は$▵\mathrm{ABC}$の垂心であること，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする．このとき，$▵\mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面において原点のまわりに角$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$である．

(2)　直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．

(3)　直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A\text{，}B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．

【６】　$2$つの双曲線$C:x^2-y^2=1\text{，}H:x^2-y^2=-1$を考える．双曲線$H$上の点$\mathrm{P}(s,t)$に対して，方程式$sx-ty=1$で定まる直線を$l$とする．

(1)　直線$l$は点$\mathrm{P}$を通らないことを示せ．

(2)　直線$l$と双曲線$C$は異なる$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$で交わることを示し，$▵\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{G}$の座標を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　(2)における$3$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$に対して，$▵\mathrm{GQR}$の面積は点$\mathrm{P}(s,t)$の位置によらず一定であることを示せ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　教育学類，障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学III選択者　【２】，【３】必須

　　数学C選択者　【５】，【６】必須

　心理学類　【１】，【４】必須，【２】，【３】，【５】，【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から３題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須， 【１】か【４】から1題選択

　知識情報・図書館学類　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択