2012　筑波大学　推薦理工学群応用理工,工学システム学類

【１】　区分求積法$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}g\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)={\displaystyle {\int }_0^1}g(x)dx$（$g(x)$は区間$[0,1]$で連続な関数）を用いて，右図のような曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{S}(s,f(s))$と点$\mathrm{T}(t,f(t))\text{（}s<t\text{）}$の間の曲線の長さを求めることを考える．$f(x)$上の点$\mathrm{A}(x_0,f(x_0))\text{（}s\leqq x_0<t\text{）}$における接線を考え，この接線と直線$x=x_1\text{（}{x}_0<x_1\leqq t\text{）}$との交点を$\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{A}$における接線の式を$x_0\text{，}f(x_0)\text{，}{f}^{\prime }(x_0)$を用いて表せ．

問２　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$\boxed{f^{\prime }(x_0)\text{からなる式}}\times (x_1-x_0)$の形で表せ．

問３　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離は，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}(x_1,f(x_1))$の間の曲線の長さの近似値として用いることができる．上記の区分求積法の式と問２の結果から，点$\mathrm{S}$と点$\mathrm{T}$の間の曲線の長さが

${\displaystyle {\int }_s^t}\sqrt{1+{\{f^{\prime }(x)\}}^2}dx$

で与えられることを示せ．

問４　$f(x)=~\log (1-x^2)$の時，$f(x)$上の点$(0,f(0))$と点$({\displaystyle \frac{1}{2}},f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right))$の間の曲線の長さを求めよ．