2012　千葉大学　後期理学部数学・情報数理学科MathJax

【１】　$a$を実数とする．関数$f(x)=|\cos 2x+\sin x|+a\sin x$の最大値を$a$を用いて表せ．

【２】　$a$を正の実数とし，座標平面上に$4$点

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})\text{，}\mathrm{C}(2a,{\displaystyle \frac{1}{2a}})$

をとる．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AD}$の方程式を求めよ．

(2)　$\sin \angle \mathrm{CAD}$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　$\cos \angle \mathrm{CAD}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$をみたすような$a$の値をすべて求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{C}(\cos 3\theta ,\sin 3\theta )$をとる．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$の範囲を動くとせよ．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積が最大になるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さの$2$乗を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$2$つの曲線$y=a\sin 4x$と$y=\tan x$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線の共有点はいくつあるか$a$の値によって分類せよ．

(2)　$2$つの曲線が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で共有点をただ$1$つだけもつとき，$2$つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　座標平面上で$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(x,y)$を頂点とする三角形を考える．$y>0$で$\angle \mathrm{C}\leqq 90\mathrm{°}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の中で$\mathrm{AB}$の長さが最大となる点$\mathrm{C}$の範囲を図示せよ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円の半径は，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通り点$\mathrm{C}$を内部に含むどの円の半径よりも小さいことを証明せよ．

【６】　$l\text{，}m$を$1$以上の整数とする．$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次のように定める．

(ⅰ)　$a_1=l\text{，}{b}_1=m\text{，}$

(ⅱ)　$a_n\leqq b_n$かつ$2\leqq b_n$のとき，$a_{n+1}=a_n+1\text{，}{b}_{n+1}=b_n-2\text{，}$

(ⅲ)　$b_n<a_n$かつ$2\leqq a_n$のとき，$a_{n+1}=a_n-2\text{，}{b}_{n+1}=b_n+1\text{，}$

(ⅳ)　$a_n<2$かつ$b_n<2$のとき，$a_n\text{，}{b}_n$を数列の最後の項とする．

次の問いに答えよ．

(1)　$l=3\text{，}m=3$のとき数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を書き下せ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は有限数列であることを示せ．さらに，$\{a_n\}$の最後の項を$A\text{，}\{b_n\}$の最後の項を$B$とするとき，$(A,B)$は$(1,1)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)$のいずれかであることを示せ．

(3)　$A$と$B$を(2)のように定めるとき，$(A,B)=(1,0)$が成り立つために$l$と$m$がみたすべき必要十分条件を求めよ．