2012　東京農工大学　後期工学部

【１】　図１−１にあるように，$▵{\mathrm{P}}_0{\mathrm{OQ}}_0$において点${\mathrm{Q}}_0$から辺${\mathrm{OP}}_0$に垂線${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{P}}_1$を下ろす．点${\mathrm{P}}_1$から辺${\mathrm{OQ}}_0$に垂線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を下ろす．また，点${\mathrm{Q}}_1$から辺${\mathrm{OP}}_0$に垂線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2$を下ろす．これを限りなく続けるものとする．辺${\mathrm{OP}}_0$の長さを$a\text{，}\angle {\mathrm{OQ}}_0{\mathrm{P}}_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle {\mathrm{P}}_0{\mathrm{OQ}}_0=\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，以下の問いに答えよ．

〔1〕　線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$および線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．

〔2〕　線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_n$の長さ$L_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$a\text{，}\theta \text{，}n$を用いて表せ．

〔3〕　長さ$L_n$が$n=3$で初めて$L_n>{\displaystyle \frac{63}{64}}a$となるような$\cos \theta$の値の範囲を示せ．答えを導く過程も記せ．

〔4〕　$▵{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{Q}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の面積を$S_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．

(1)　$S_n$を$a\text{，}\theta \text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，面積の無限級数の和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を$a$を用いて表せ．

【２】　図２−１に示すように，原点$\mathrm{O}$を中心とし$y$軸上の短軸の長さが$2\text{，}x$軸上の長軸の長さが$2a\text{（}a>1\text{）}$であるような楕円と直線$l$が，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{P}$の座標は$(0,1)$であり，$x$軸から反時計回りに線分$\mathrm{OQ}$までの角の大きさは$\theta (\pi <\theta <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$であるとする．以下の問いに答えよ．〔1〕〜〔3〕は答えのみでよい．

〔1〕　点$\mathrm{Q}$の座標$(x_{\mathrm{Q}},y_{\mathrm{Q}})$を$a\text{，}\theta$を用いて表せ．

〔2〕　直線$l$を$y=kx+1$と表すとき，$k$を$a\text{，}\theta$を用いて表せ．

〔3〕　線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線が楕円と交わる点のうち左側の点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$の$y$座標を$u$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さ$L$を$k\text{，}a\text{，}u$を用いて表せ．

〔4〕　$a=\sqrt{3}\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{7}{6}}\pi$のとき，楕円によって囲まれた部分を直線$l$で切ったときにできる小さい方の部分の面積$S$を求めよ．答えを導く過程も記せ．

【１】　次の問〔1〕，〔2〕に答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

〔1〕　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．等式$S_n=3a_n-4n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つとき，次の問に答えなさい．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【１】　次の問〔1〕，〔2〕に答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

〔2〕　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の曲線$y={(1-x)}^{-n}$を$C$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,{(1-t)}^{-n})$における接線を$l$とする．このとき次の問に答えなさい．ただし，$t\text{，}n$は実数で，$0<t<1\text{，}n>1$とする．

(1)　接線$l$が点$\mathrm{O}$を通るとき，$t$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　$n=2$とする．接線$l$が点$\mathrm{A}(u,0)$（ただし，$u>0$）を通り，曲線$C$と$x$軸，$y$軸，および直線$\mathrm{AP}$のすべてで囲まれる部分の面積を$S_1$とする．また，点$\mathrm{P}$から$y$軸に垂線を下ろした交点を点$\mathrm{B}$とし，曲線$C$と$y$軸，および直線$\mathrm{BP}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，$2S_1=S_2$となる$t$の値を求めなさい．