2012　東京工業大学　前期MathJax

【１】(1)　辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を求めよ．

【１】(2)　$1$から$6$までの目がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$の確率で出るさいころを同時に$3$個投げるとき，目の積が$10$の倍数になる確率を求めよ．

【２】(1)　${\log }_{10}3=0.4771$として，${\displaystyle \sum _{n=0}^{99}}{3}^n$の桁数を求めよ．

【２】(2)　実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[a]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[\sqrt{n}]$が$n$の約数となるものは何個あるか．

【３】　$3$次関数$y=x^3-3x^2+2x$のグラフを$C\text{，}$直線$y=ax$を$l$とする．

(1)　$C$と$l$が原点以外の共有点をもつような実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲内にあるとき，$C$と$l$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最小となる$a$の値を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．数列$\{a_k\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}\text{，}$$a_{k+1}=-{\displaystyle \frac{1}{k+n+1}}+{\displaystyle \frac{n}{k}}{\displaystyle \sum _{i=1}^k}{a}_i$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$a_2$および$a_3$を求めよ．

(2)　一般項$a_k$を求めよ．

(3)　$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sqrt{a_k}$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\log 2$を示せ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に対して${\displaystyle \frac{{\mathrm{OP}}^{\prime }}{\mathrm{OP}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{OQ}}^{\prime }}{\mathrm{OQ}}}$が成り立つ．ただし，${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$はそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．

(1)　$a^2+c^2=b^2+d^2$を示せ．

(2)　$1$次変換$f$により，点$(1,\sqrt{3})$が点$(-4,0)$に移るとき，$A$を求めよ．

【６】　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{P}(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{A}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\sqrt{3},-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(-\sqrt{3},-1,0)$をとる．四面体$\mathrm{PABC}$の$x^2+y^2\geqq 1$をみたす部分の体積を求めよ．