2012　一橋大学　前期MathJax

【１】　$1$つの角が$120\mathrm{°}$の三角形がある．この三角形の$3$辺の長さ$x\text{，}y\text{，}z$は$x<y<z$を満たす整数である．

(1)　$x+y-z=2$を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

(2)　$x+y-z=3$を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組をすべて求めよ．

(3)　$a\text{，}b$を$0$以上の整数とする．$x+y-z=2^a{3}^b$を満たす$x\text{，}y\text{，}z$の組の個数を$a$と$b$の式で表せ．

【２】　$a$を$0$以上の定数とする．関数$y=x^3-3a^{2}x$のグラフと方程式$|x|+|y|=2$で表される図形の共有点の個数を求めよ．

【３】　定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，平面上の点$(p,q)$を点$(ap+bq,cp+dq)$に移す操作を考える．ただし，$(a,b,c,d)\ne (1,0,0,1)$である．$k$を$0$でない定数とする．放物線$C:y=x^2-x+k$上のすべての点は，この操作によって$C$上に移る．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

(2)　$C$上の点$\mathrm{A}$における$C$の接線と，点$\mathrm{A}$をこの操作によって移した点${\mathrm{A}}^{\prime }$における$C$の接線は，原点で直交する．このときの$k$の値および点$\mathrm{A}$の座標をすべて求めよ．

【４】　$xyz$空間内の平面$z=2$上に点$\mathrm{P}$があり，平面$z=1$上に点$\mathrm{Q}$がある．直線$\mathrm{PQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\mathrm{P}(0,0,2)$とする．点$\mathrm{Q}$が平面$z=1$上で点$(0,0,1)$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　平面$z=1$上に$4$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(-,-1,1)\text{，}\mathrm{D}(-1,1,1)$をとる．点$\mathrm{P}$が平面$z=2$上で点$(0,0,2)$を中心とする半径$1$の円周上を動き，点$\mathrm{Q}$が正方形$\mathrm{ABCD}$の周上を動くとき，点$\mathrm{R}$が動きうる領域を$xy$平面上に図示し，その面積を求めよ．

【５】　最初に$1$の目が上面にあるようにサイコロが置かれている．その後，$4$つの側面から$1$つの面を無作為に選び，その面が上面になるように置き直す操作を$n$回繰返す．なお，サイコロの向かい合う面の目の数の和は$7$である．

(1)　最後に$1$の目が上面にある確率を求めよ．

(2)　最後に上面にある目の数の期待値を求めよ．