2012　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に$n$個の点${\mathrm{P}}_k(x_k,y_k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$がある．

$a={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x_k}^2\text{，}b={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{y_k}^2\text{，}c={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k{y}_k$

とおく．さらに，${\mathrm{P}}_k$と直線$l:x\cos \theta +y\sin \theta =0$の距離を$d_k$とし，

$L={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{d_k}^2$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$L$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta <\pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$a\ne b$または$c\ne 0$のとき，$L$を最大にする$l$を$l_1\text{，}$最小にする$l$を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$は直交することを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$0$以上の整数とするとき，

${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}\leqq k$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$の個数を$a_k$とする．$a_k$を$k$の式で表せ．

(2)　$n$を$0$以上の整数とするとき，

${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{y}{2}}+z\leqq n$

を満たす$0$以上の整数$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$の個数を$b_n$とする．$b_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)\text{（}t\ne 1\text{）}$における接線を，$\mathrm{P}$を中心として反時計回りに$45\mathrm{°}$回転して得られる直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{2+\sin x}{1+\cos x}}dx$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

【２】　行列$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& 6\end{array}\right)$は$XY=YX$を満たす．次の問いに答えよ．

(1)　$c\text{，}d$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$X^2=E\text{，}b>0$のとき，$X$を求めよ．ただし，$E$は単位行列とする．

(3)　$xy$平面上に直線$l$があり，(2)で求めた行列$X$の表す$1$次変換によって$l$上の点はすべて$l$上の点に移される．$l$の方程式を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分

${\displaystyle \int }{x}^2\cos (a\log x)dx$

を求めよ．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

(2)　曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1\text{，}x=e^{\frac{\pi }{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．