2012　横浜国立大学　後期MathJax

$\{\begin{array}{cc}{(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2={a_1}^3+{a_2}^3+\cdots +{a_n}^3& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ a_{3m-2}>0\text{，}{a}_{3m-1}>0\text{，}{a}_{3m}<0& \text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_6$を求めよ．

(2)　$a_{3m-2}\text{，}{a}_{3m-1}\text{，}{a}_{3m}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$m$の式で表せ．

(1)　$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$D$の$2$つの交点を通る直線の方程式を求めよ．

(3)　$a$が(1)の範囲を動くとき，(2)の直線が通過する領域を図示せよ．

(1)　$b$のとり得る値の範囲を$a\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$b$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S$を最大にする$b$を$a\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$から，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面$\alpha$に垂線を引き，$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OBPQ}$の体積を求めよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，

$1-{\displaystyle \frac{1}{3}}x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\leqq 1$

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}$