2012　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$A^2$と$A^3$を求めなさい．

(2)　自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．

【２】　関数$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$x>0$における曲線$y=f(x)$の概形を書きなさい．

(2)　$t>0$のとき，$3$直線$y=0\text{，}x=t\text{，}x=t+2$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．

(3)　$t>0$における$S(t)$の最小値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　袋の中に赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．この袋から中を見ないで玉を$1$個ずつ取り出す．取り出した玉は元に戻さない．$k$回目に赤玉が取り出される確率$P_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を求めなさい．

(2)　袋の中に赤玉$2$個と白玉$n$個が入っている．この袋から中を見ないで玉を$1$個ずつ取り出す．取り出した玉は元に戻さない．$k$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率$Q_k\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n+2\text{）}$を求めなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$m\text{，}n$に対して，$m$以上$m+n$以下の自然数の和を$m\text{，}n$の式で表しなさい．

(2)　$12$は，$12=3+4+5$と連続する$3$つの自然数の和として表すことができる．$88$を連続する$2$つ以上の自然数の和として表しなさい．