2012　福井大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の整数とし，袋の中に，白玉が$5$個，赤玉が$n$個入っているとする．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉$1$個ずつである確率を$p_n$とし，また，取り出した白玉の数を$X$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$を求めよ．

(2)　$p_n$が最大になる$n$の値と，そのときの$p_n$の値を求めよ．

(3)　$X$の期待値が$0.625$になるとき，$n$の値を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OC}=1$であり，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}\text{，}$平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を${\mathrm{P}}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_0}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表し，${\mathrm{CP}}_0+{\mathrm{P}}_0\mathrm{G}$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1\text{，}{a}_3=5\text{，}{a}_5=41$である．また，ある定数$s\text{，}t$について

$a_{n+1}=s{a}_n+t\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{a_k}{a}_k$を$n$の式で表せ．

【４】　曲線$C\text{：}y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,e^{-a})$における法線を$l$とし，$l$に関して点$(a,0)$と対称な点を$\mathrm{B}\text{，}$直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(a)$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が実数全体を動くとき，$f(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

(3)　$a$を(2)で求めた値とするとき，曲線$C\text{，}y$軸と線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【５】　$t$を$1$以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1\text{，}C$を$x$軸方向に$1$だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0\leqq x\leqq 3$の範囲で，曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．

(2)　$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$t\geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【１】　$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　二項定理を用いて，${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k={}_{n}C_0+{}_{n}C_1+\cdots +{}_{n}C_{n-1}+{}_{n}C_n$の値が$2^n$に等しいことを示せ．

(2)　複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}}{(-1)}^k\cdot {}_{4n}C_{2k}={}_{4n}C_0-{}_{4n}C_2+\cdots -{}_{4n}C_{4n-2}+{}_{4n}C_{4n}$の値が${(-4)}^n$に等しいことを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{OC}=1$であり，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}\text{，}$平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{K}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{GP}+\mathrm{PC}$を最小にする点を${\mathrm{P}}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_0}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，点${\mathrm{P}}_0$は$▵\mathrm{OAB}$の周または内部にあることを示せ．

【３】　$t$を$0\leqq t\leqq \sqrt{3}$をみたす実数とし，座標空間内に点$\mathrm{P}(t,0,\sqrt{3-t^2})$をとる．$\mathrm{P}$を通り$yz$平面に平行な平面を$\beta$とおく．$3$点$\mathrm{D}(0,1,0)\text{，}\mathrm{E}(0,-1,0)\text{，}\mathrm{F}(-\sqrt{3},0,0)$に対し，$\beta$と直線$\mathrm{FD}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\beta$と直線$\mathrm{FE}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S(t)$とおくとき，以下の問いに答えよ．ただし，$S(\sqrt{3})=0$とする．

(1)　$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$▵\mathrm{PQR}$が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に，曲線$C_1\text{：}x=t-\sin t\text{，}y=1-\cos t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$がある．$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し，$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1(t-\sin t,1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき，$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$が線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点になるように点${\mathrm{P}}_2$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M}\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，${\mathrm{P}}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 2\pi$の範囲を動くときの${\mathrm{P}}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0\text{，}2\pi$に対しては，点${\mathrm{P}}_2$をそれぞれ点$(0,0)\text{，}$点$(2\pi ,0)$にとるものとする．

【２】　数列$\{a_n\}$は正の整数からなる数列で，$a_1=1\text{，}{a}_3=5\text{，}{a}_5=41$である．また，ある定数$s\text{，}t$について

$a_{n+1}=s{a}_n+t\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．さらに$a_{2n-2}$は$a_n$で割り切れることを示せ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$で割った余りを$b_n$とする．$2$以上の正の整数$m$に対して，次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=2}^m}{\displaystyle \frac{a_k+b_k}{b_k{b}_{k+1}}}$

【３】　曲線$C\text{：}y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$l_1\text{：}x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　$m$に関して$l_1$と対称な直線を$l_2$とするとき，$l_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　$l_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

(4)　$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C\text{，}y$軸と線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 3& 2\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって，点${\mathrm{P}}_0(1,0)$が移る点を${\mathrm{P}}_1(x_1,y_1)\text{，}$正の整数$n$に対して点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$が移る点を${\mathrm{P}}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$とする．原点を$\mathrm{O}$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \angle {\mathrm{P}}_n{\mathrm{OP}}_{n+1}$の値を求めよ．

(2)　$2$以上の整数$n$で，直線${\mathrm{OP}}_n$が線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$と交わる最小の$n$を求めよ．

(3)　$i$を虚数単位とする．$0$でない整数$n$に対して，実数$a_n\text{，}{b}_n$を${(2+3i)}^n=a_n+b_{n}i$により定める．このとき次の等式

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& -b_n\\ b_n& a_n\end{array}\right)$

が$0$でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数$m$に対し，$A^{-m}={(A^m)}^{-1}$とする．