2012　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$について，以下の問に答えよ．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{8a_n-1}{25a_n-2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$を求めよ．

(2)　(1)の結果に基づいて，一般項$a_n$を推測せよ．また，その推測が正しいことを証明せよ．

【２】　${\log }_{x}y+2{\log }_{y}x\leqq 3$を満たす点$(x,y)$の存在する領域を図示せよ．

【３】　図のように，$x$軸，$y$軸，$z$軸上に辺があり，一辺の長さが$3$である立方体がある．点$\mathrm{A}(0,0,3)\text{，}\mathrm{B}(3,0,2)\text{，}\mathrm{C}(3,3,1)$を通る平面で立方体を切断したときの切口を四角形$\mathrm{ABCD}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(3,3,3)$から四角形$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=s\overrightarrow{\mathrm{BA}}+t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を満たす$s\text{，}t$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$を頂点とし，四角形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角すいの体積を求めよ．

【４】　$xy$平面上の点$(a,b)$から曲線$y=x^3-2x$に接線をひく．点$(a,b)$からの接線が$3$本ひけるときの$a\text{，}b$についての条件を求め，点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

【１】　座標平面上に，だ円$2x^2+y^2=1$と点$\mathrm{P}(t,\sqrt{2}t)\text{（}t>0\text{）}$がある．点$\mathrm{P}$が$C$の外側にあるとして，$\mathrm{P}$から$C$へ接線を$2$本ひく．$2$つの接点を${\mathrm{T}}_1\text{，}{\mathrm{T}}_2$とおき，$\theta =\angle {\mathrm{T}}_1\mathrm{P}{\mathrm{T}}_2$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき，$\theta$を求めよ．

(2)　$2$つの接線の傾きを$m_1\text{，}{m}_2$とするとき，$m_1+m_2\text{，}{m}_1{m}_2$を$t$で表せ．

(3)　$\cos \theta$を$t$で表せ．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．

(2)　$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．