2012　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　すべての自然数$n$に対して${\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}}={\displaystyle \frac{A}{n+2}}+{\displaystyle \frac{B}{n+4}}$を満たすような定数$A\text{，}B$の値を求めよ．また，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}}$の和を求めよ．

【１】　

(2)　面積が${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【１】　

(3)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1+\sin x)\cos x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を考える．

(1)　$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　実数$a$に対して，関数$f_a(x)$は等式$f_a(x)=-3x^2+({\displaystyle \frac{5}{4}}-x){\displaystyle {\int }_0^a}{f}_a(t)dt$を満たすとする．

(1)　$k={\displaystyle {\int }_0^a}{f}_a(t)dt$とおく．このとき，$k$を$a$の分数式で表せ．

(2)　どのような実数$a$に対しても，$2$次方程式$f_a(x)=4x-20$が異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(3)　(2)の方程式の解がともに正であるような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ 0& 3\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& {\displaystyle \frac{6}{5}}\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　すべての自然数$n$に対して$P^{-1}{A}^{n}P=\left(\begin{array}{cc}{(-2)}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$を関係式$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=-2a_n+6\cdot 3^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して$A^n\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ 3^n\end{array}\right)$が成り立つことを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．