2012　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上の点${\mathrm{P}}_0(a,b)$が$A$によって変換された点を${\mathrm{P}}_1$とする．$2$点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1$の間の長さを求めよ．

(2)　$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0\leqq \theta \leqq \pi \text{，}E$は単位行列とする．

(3)　座標平面上の点${\mathrm{P}}_0(a,b)$が$A$によって$l$回変換された点を${\mathrm{P}}_l$とする．点${\mathrm{P}}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点${\mathrm{P}}_0$に戻るとする．$n$個の点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．

　また，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$を用いて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点${\mathrm{Q}}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点${\mathrm{Q}}_i$に移るとする．点${\mathrm{Q}}_0$を$(c_0,d_0)$とするとき，$2$点${\mathrm{Q}}_{i-1}\text{，}{\mathrm{Q}}_i$の間の長さ$m_i$を$k\text{，}\theta \text{，}{c}_0\text{，}{d}_0$を用いて表せ．

【２】　平面上の点とベクトルに関する以下の問いに答えよ．

(1)　図のように$x$軸の正の部分と$30\mathrm{°}$の角をなす直線上に$n$個の点（${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$）を以下の規則で配置する．このときの${\mathrm{A}}_n$の座標を$n$を用いて表せ．また$n\to \infty$の場合における${\mathrm{A}}_n$の座標を求めよ．

(2)　今度は$n$個の点を第一象限内に図のように反時計回りに配置する．各線分は隣り合う線分と直角をなす．このとき$n\to \infty$の場合における${\mathrm{A}}_n$の座標を求めよ．ただし，各線分の長さの関係は以下の規則に従うものとする．

【３】　曲線$y^2-2xy+x^3=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$x$および$y$は$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の実数とする．

(1)　$y$についての解を求めよ．

(2)　曲線の概形を描き，$x$および$y$のとりえる値の範囲を求めよ．

(3)　直線$y=x$と曲線のうち$y\geqq x$を満たす線分で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，上図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．

(2)　数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n\geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．

(3)　数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n\geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．