2012　滋賀大学　前期MathJax

【１】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円周上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なるものとする．

(1)　$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とするとき，線分$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とする．$▵\mathrm{APC}$と$▵\mathrm{BPC}$の周の長さの和$L$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$L$の最大値を求め，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を不等式$y<4x-4x^2$の表す領域内の点とし，点$\mathrm{A}$を通り傾き$m$の直線を$l$とする．直線$l$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(x)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．

(3)　$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$l$の方程式を求めよ．

【３】　$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　出る目の最小値が$3$以上になる確率を求めよ．

(2)　$3$個のうち，いずれか$2$個の目の和が$8$になる確率を求めよ．

(3)　出る目の最小値が$2$以下になり，かつどの$2$個の目の和も$8$でない確率を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}\mathrm{BC}=2\sqrt{6}$とする．$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{N}\text{，}$直線$\mathrm{AO}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．

（２）　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=s:1-s\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ，$k\text{，}s\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．