2012　広島大学　後期総合問題MathJax

【１】

問１　行列$A=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$について以下の問いに答えよ．

(1)　逆行列$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$AX=tX\text{，}X=\left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right)$を満たす定数$t$と$x$を求めよ．導き方も示せ．

【１】

問２　次の関数の導関数を括弧の中の範囲内において求めよ．

(1)　$x^2{e}^x$

(2)　${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^3+1}}}\text{（}x>0\text{）}$

(3)　$\log (e^x\cos x+x)\text{（}0<x<2\pi \text{）}$

【１】

問３　二つの曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$と$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$について以下の問いに答えよ．

(1)　二つの曲線のすべての交点の座標を求めよ．

(2)　二つの曲線のグラフを$xy$平面上に重ねて図示せよ．二つの曲線，および，$x$軸と$y$軸とのすべての交点および接点の座標もグラフに示せ．

(3)　二つの曲線に囲まれた部分の面積を求めよ．導き方も示せ．

【１】

問４　数学的帰納法を用いて，次の数列の和に関する式がすべての正の整数$n$について成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}}={\displaystyle \frac{1}{18}}-{\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+1)(n+3)}}$

【１】

問５　三つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の中に，赤球と白玉が入っている。赤球と白玉は，それぞれ，箱$\mathrm{A}$には$3$個と$1$個，箱$\mathrm{B}$には$2$個と$1$個，箱$\mathrm{C}$には$2$個と$2$個が，入っている．三つの箱は外から見て区別がつかない．これらの箱のどれか一つを選んで，一つの玉を取り出したとき，赤玉であった．この玉が箱$\mathrm{A}$から取り出された確率を求めよ．導き方も示せ．